Геометрический, физический и экономический смысл производной

Геометрический смысл: производная от функции в данной точке х ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке и уравнение касательной имеет вид:

а уравнение нормали в точке М ₀:

.

Физический смысл: производная пути по времени равна скорости прямолинейного неравномерного движения:

Экономический смысл: например, производная стоимости (затрат) производства по величине объема производства равна предельной (маржинальной) стоимости производства:

№ 45. В какой точке параболы касательная перпендикулярна к биссектрисе первого координатного угла.

Решение. Вычислим производную

.

Так как уравнение биссектрисы первого координатного угла имеет вид: то есть угловой коэффициент то из условия перпендикулярности прямых следует:

и .

Тогда

Ответ: .

В экономике для исследования функций спроса, предложения, стоимости часто используется понятие эластичности. Эластичностью или коэффициентом эластичности функции в точке называется безразмерная величина, равная отношению пропорционального изменения функции к пропорциональному изменению аргумента , а именно:

Если - функция спроса, то общий доход вычисляется как . Маржинальный (предельный) доход по отношению к спросу равен

а с учетом эластичности спроса по цене можем получить: