Понятие предиката

Логика предикатов представляет собой развитие логики высказываний. Она

содержит в себе всю логику высказываний, т.е. элементарные высказывания,

рассматриваемые как величины, которые принимают значения И либо Л. Но

помимо этого, язык логики предикатов вводит в рассмотрение утверждения,

отнесенные к предметам, т.е. производится более детальный анализ

предложений. Рассмотрение логики предикатов вызвано тем, что логика

высказываний не позволяет моделировать рассуждения всех видов, в

частности рассуждении с использованием понятии «каждый», «некоторый».

Отметим, что логика предикатов тоже не охватывает всевозможных случаев

рассуждений, например, когда нужно исследовать рассуждения, истинность

которых зависит от времени или вводятся понятия «должно быть» и «может

быть» и т.п.; подробнее см. главу 5.

Пусть M - некоторое множество предметов, а1, а2,...- какие-то определенные

предметы (элементы) из этого множества. Тогда через А(а1) будем

обозначать некоторое высказывание о предмете а1, а через А(а2) - то же

высказывание о предмете а2. Например, если M есть __________множество всех

натуральных чисел и а1=3, а2=8, то А(а1) может обозначать высказывание " 3-

простое число", тогда А(а2) будет обозначать " 8-простое число".

Как и в логике высказываний, будем рассматривать эти высказывания только

с той точки зрения, что они представляют либо истину, либо ложь,

обозначаемые соответственно И и Л. При этом значения высказывания А(а1) и

А(а2) могут быть разными или нет в зависимости от выбранных предметов а1 и

а2. Следовательно, в отличие от алгебры высказываний будем считать, что

значения И и Л ставятся в соответствие определенным предметам или

группам предметов. Если же не будем фиксировать предмет, например,

рассмотрим А(х), где х - любой предмет из M, то получим некоторое

предложение, которое становится высказыванием, когда х замещено

определенным предметом из M. Например, если M является множеством всех

натуральных чисел, то А(х) может обозначать " х - простое число". Это

предложение становится высказыванием, если х заменить числом, например,

" 3 -простое число", " 4-простое число". При этом получаем высказывания,

которые истинны, либо ложны. Следовательно, А(х) порождает функцию,

область определения которой есть множество M, а область значений –

множество {И, Л}. Отметим (еще раз), что А(х) становится высказыванием при

замене х фиксированным (определенным) предметом из M.

Предложения, в которых имеются две и более переменных, будем

обозначать, например, А(х, у), В(х, у, z) и т. п. При этом х, у, z пробегают все

множество M, а А(х, у), В(х, у, z) при фиксированных х, у, z становятся

высказываниями, следовательно, принимают значение И либо Л. Например,

пусть M есть множество всех действительных чисел Рассмотрим

предложение: " х делится нацело на у". Если вместо х и у подставить

конкретные числа из M, получится высказывание истинное либо ложное, так,

при х=6, у=3 высказывание " 6 делится нацело на 3" - истинное, а при х=5, у=7

высказывание " 5 делится нацело на 7" - ложно. Рассмотренное предложение

" х делится нацело на у" можно обозначить, например, через С(х, у). Такого

типа предложения, порождающие функции одного или нескольких

переменных, будем считать предикатами.

Точнее: предикатом называется повествовательное предложение об

элементах некоторого заданного множества M, которое (предложение)

становится высказыванием, если все переменные в нем заменить

фиксированными элементами из M; высказывание тоже будем считать

предикатом - нульместным предикатом. Часто вместо " предикат от n

переменных " говорят " n-местный предикат".

Упражнение. Пусть на множестве M, состоящем из m элементов, задан 3-х

местный предикат А(х, у, z). Сколько высказываний об элементах M можно

получить, фиксируя переменные предиката А(х, у, z)?

Введем операции над предикатами. Пусть А(х), В(х) - заданные на M

предикаты. Будем считать, что А(х) тоже определяет  предикат на M, причем

при каждом фиксированном х=b значение высказывания  А(b)

противоположно значению высказывания А(b). Так же будем образовывать из

предикатов А(х), В(х) новые предикаты с помощью операций &, ∨, ⇒, ≡. Так,

например, А(х)& В(х) обозначает предикат, который при фиксированном х=b

превращается в сложное высказывание А(b)& В(b), образованное из

высказываний А(b) и В(b) соединением их связкой &. Точно так же будем

образовывать новые предикаты из произвольных многоместных предикатов.

Например, А(х, у)⇒ С(х, у, z) обозначает предикат, который при фиксированных

переменных: х=а, у= b, z=с (а, b, с∈ M) превращается в 47

высказывание А(а, b)⇒ С(а, b, с), образованное из двух высказываний А(а, b) и

С(а, b, с) соединением их связкой ⇒.