Перевірка

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 1.

ТЕМА: «Обчислення визначників, формули Крамера.»

Індивідуальні завдання:

1. Обчислити визначник А (табл. 1):

а) за правилом трикутника; б) за правилом Саррюса; в) методом розкладання.

2. Обчисліть визначник В:

а) методом розкладання; б) методом зниження порядку;

в) методом зведення визначника до трикутного вигляду.

3. Обчисліть визначник С.

Таблиця 1.

4. Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Крамера:

№	а)	б)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Зразки виконання завдань:

1. а) Обчислити визначник за правилом трикутників.

Розв’язання:

.

б) Обчислити визначник за правилом Саррюса.

Розв’язання:

.

в) Обчислити визначник методом розкладання

Розв’язання:

Обчислимо визначник шляхом розкладання його за елементами 3-го рядка, так як один елемент рядка дорівнює нулю,

.

2. Обчисліть визначник:

б)методом зниження порядку.

Розв’язання:

Для утворення нулів у рядку або стовпчику зручно мати розв’язу­вальний елемент, що дорівнює одиниці. Даний визначник такого еле­мента не має. Для його утворення можна, наприклад, помножити останній рядок визначника на –1 і додати до передостаннього, при цьому визначник не зміниться. У такий спосіб у третьому рядку утворилися три одиниці (достатньо мати одну). Для утворення нулів, наприклад у третьому рядку, можна взяти за розв’язувальний елемент одиницю, що стоїть на перетині першого стовпчика і третього рядка.

Помножимо елементи першого стовпчика спочатку на –1 і складемо з відповідними елементами другого стовпчика, тоді на місці елемента (3, 2) утвориться нуль. Далі множимо всі елементи того ж першого стовпчика на –3 і складаємо з елементами третього стовпчика. На місці елемента (3, 3) знову утворився нуль. У такий же спосіб, помноживши перший стовпчик на –1 і склавши з останнім, на місці елемента (3, 4) також утвориться нуль. Слід зазначити, що для утворення нулів у рядку працюють з елементами стовпчиків, а для утворення нулів у стовпчиках — з елементами рядків.

в) Обчислити визначник методом зведення до трикутного вигляду.

=

Розв’язування.

Перший стовпчик визначника ненульовий, і в ньому на першому місці стоїть ненульовий елемент. Тому можна в першому стовпчику одержати нулі на всіх місцях, починаючи з другого. Для цього від другого рядка віднімаємо перший, помножений на 2:

= .

Далі від третього рядка віднімаємо перший, помножений на 3:

= .

Від четвертого рядка віднімаємо перший, помножений на 2:

= .

Нарешті від п’ятого рядка віднімемо перший:

= .

У другому стовпчику одержаного визначника на другом місці знаходиться ненульовий елемент. Тому одержуємо нулі у другому стовпчику на всіх місцях, починаючи з третього. Для цього від третього рядка віднімемо другий, від четвертого віднімемо другий, помножений на 11, і до п’ятого рядка додамо другий, помножений на 2.

= .

У третьому стовпчику одержаного визначника на другому місці знаходиться ненульовий елемент. Одержуємо нулі у третьому стовпчику, починаючи з четвертого місця. Для цього до четвертого рядка додамо третій помножений на 10, а від п’ятого віднімемо третій, помножений на 4

= .

У даному визначнику четвертий елемент четвертого стовпчика не дорівнює нулю. Тому можна від п’ятого рядка відняти четвертий, помножений на і одержати визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі

D = .

Тоді D = 1× (-1)× 1× (-3)× = 52

4. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

а) ; в) .

а) Запишемо і обчислимо основний визначник системи:

Так як основний визначник системи відмінний від нуля, то система має єдиний розв’язок, який знайдемо за допомогою формул Крамера. Обчислимо допоміжні визначники :

;

;

;

Використаємо формули Крамера:

; ;

Перевірка

Підставимо знайдені в ліві частини рівнянь заданої системи:

Сукупність чисел (3, 2, 1) являється єдиним розв`язком системи.

в) Запишемо і обчислимо основний визначник системи:

Так як основний визначник системи відмінний від нуля, то система має єдиний розв’язок, який знайдемо за допомогою формул Крамера. Обчислимо допоміжні визначники :

;

;

Використаємо формули Крамера:

; ;