Теоретическое обоснование. Эксперимент проводим над лампочками в количестве N=100 штук, со средним временем безотказной работы q =100 часов по плану [N,Б,T]

Эксперимент проводим над лампочками в количестве N=100 штук, со средним временем безотказной работы q =100 часов по плану [N, Б, T]. План типа [N, Б, T]- это эксперимент, при котором испытывается N элементов, каждый отказавший элемент не заменяется новым, а наблюдения ведутся до момента T.

Достаточной статистикой являются:

d(T)- число отказов за время T, и сумма времен, в течение которой проработал каждый элемент, т.е Sб- суммарная наработка элементов за время проведения испытаний.

Сгенерируем на всем временном интервале моменты отказов для 100 лампочек, распределенных по экспоненциальному закону с параметром

l = —

q

Последовательно просуммируем моменты отказов Σ t_i, найдем

d(T)- число лампочек, отказавших за время Т. Затем вычислим суммарную наработку всех испытываемых элементов за время проведения эксперимента по формуле:

Sб=Σ t_i + (N- d(T))T

С помощью соотношения

d(T)

l= ——

Sб

получим оценку lˆ.

Найдем смещение оценки lˆ по формуле:

Δ λ = lˆ - l

Для того чтобы определить, на сколько точно оценивается параметр l, повторим эксперимент 800 раз по описанному выше алгоритму. По полученным данным построим гистограмму и эмпирическую функцию для Δ l.

Вычислим математическое ожидание Δ l, т.е среднее арифметическое всех Δ l, по формуле:

Σ Δ l

MΔ l = ——

n

Данные действия выполним 10 раз при различных значениях Т(10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100).

Построим график зависимости MΔ λ от времени T, на основе которого сделаем выводы о проведенном эксперименте.

5.5. Экспериментальные данные

Зададимся следующими параметрами:

Количество повторений опытов n=800

Количество элементов, над которыми проводится эксперимент N=100 лампочек

Среднее время работы одной лампочки θ =100 часов

Параметр экспоненциального распределения λ =1/100=0, 01

5.5.1. Зададим время проведения эксперимента Т=10 часов

На рис.1 приведена гистограмма распределения, на рис.2 приведена эмпирическая функция распределения оценки Δ l.

Рис.1

Рис.2

Математическое ожидание MΔ l = 0.011

5.5.2. Зададим время проведения эксперимента Т=20 часов

На рис.3 приведена гистограмма распределения, на рис.4 приведена эмпирическая функция распределения оценки l.

Рис.3

Рис.4

Математическое ожидание MΔ l = 8.457 × 10^-3

5.5.3. Зададим время проведения эксперимента Т=30 часов

На рис.5 приведена гистограмма распределения, на рис.6 приведена эмпирическая функция распределения оценки l.

Рис.5

Рис.6

Математическое ожидание MΔ l = 6.061 × 10^-3

5.5.4. Зададим время проведения эксперимента Т=40 часов

На рис.7 приведена гистограмма распределения, на рис.8 приведена эмпирическая функция распределения оценки l.

Рис.7

Рис.8

Математическое ожидание MΔ l = 5.281 × 10^-3

5.5.5. Зададим время проведения эксперимента Т=50 часов

На рис.9 приведена гистограмма распределения, на рис.10 приведена эмпирическая функция распределения оценки l.

Рис.9

Рис.10

Математическое ожидание MΔ l = 4.05 × 10^-3

5.5.6. Зададим время проведения эксперимента Т=60 часов

На рис.11 приведена гистограмма распределения, на рис.12 приведена эмпирическая функция распределения оценки l.

Рис.11

Рис.12

Математическое ожидание MΔ l = 3.624 × 10^-3

5.5.7. Зададим время проведения эксперимента Т=70 часов

На рис.13 приведена гистограмма распределения, на рис.14 приведена эмпирическая функция распределения оценки l.

Рис.13

Рис.14

Математическое ожидание MΔ l = 3.118 × 10^-3

5.5.8. Зададим время проведения эксперимента Т=80 часов

На рис.15 приведена гистограмма распределения, на рис.16 приведена эмпирическая функция распределения оценки l.

Рис.15

Рис.16

Математическое ожидание MΔ l = 3.708 × 10^-3

5.5.9. Зададим время проведения эксперимента Т=90 часов

На рис.17 приведена гистограмма распределения, на рис.18 приведена эмпирическая функция распределения оценки l.

Рис.17

Рис.18

Математическое ожидание MΔ l = 3.054 × 10^-3

5.5.10. Зададим время проведения эксперимента Т=100 часов

На рис.19 приведена гистограмма распределения, на рис.20 приведена эмпирическая функция распределения оценки l.

Рис.19

Рис.20

Математическое ожидание MΔ l = 2.847 × 10^-3

5.5.11. На основе найденных мат. ожиданий оценки Δ l можно построить график зависимости между средним значением оценки параметра l и временем наблюдения T, который представлен на Рис.21.

Рис.21

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализируя экспериментальные данные можно прийти к следующим выводам:

6.1. С увеличением времени усечения смещение оценки Δ l уменьшается. Максимальное значение математического ожидания смещения оценки параметра λ при повторении опыта 800 раз не превышает 0.011 (см. таблица 1). Это дает основание говорить о большой точности оценки l^{^}.

Таблица1

Точность оценки l^{^} увеличивается. Это дает основание говорить о большой точности оценки. Данные заключения подтверждают экспериментальные данные, полученные в ходе исследования.

В реальной жизни нет возможности проводить эксперимент длительное время, поэтому компенсировать непродолжительность наблюдений можно увеличением числа одновременно испытываемых изделий. В ходе эксперимента использовалось 100 одновременно работающих лампочек, которые в последствие отказа не заменялись. Однако при увеличении количества лампочек можно получить более точные экспериментальные данные и лучшую точность оценки l^{^}.

7. СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., 1969.

2. Бомас В.В., Булыгин В.С., Машкин М.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Лекции. М.: НПК “ Поток ”, 2000

1. Гнеденко Б.В., ”Математические методы в теории надежности”

4. Кирьянов Д.В., Самоучитель Mathcad 11.- СПб.: БХВ-Петербург, 2003.

ПРИЛОЖЕНИЕ