Модуль 3

Вопросы к экзамену по математике для студентов НГД

(2 курс 3 семестр)

2015-2016

МОДУЛЬ 1

I. Кратные интегралы.

1. Определение двойного интеграла.

2. Свойства двойного интеграла.

3. Двухкратный интеграл. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат, в полярной системе координат.

4. Вычисление площади плоской фигуры.

5. Вычисление объема цилиндрического тела.

6. Вычисление массы плоской пластины.

7. Вычисление центра тяжести плоской материальной пластинки.

8. Определение тройного интеграла.

9. Свойства тройного интеграла.

10. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

11. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.

12. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.

13. Вычисление тройного интеграла с помощью трехкратного интеграла.

14. Вычисление массы тела с помощью тройного интеграла.

15. Вычисление центра тяжести тела с помощью тройного интеграла.

II. Криволинейные интегралы.

1. Вывод криволинейного интеграла 1 рода.

2. Вычисление криволинейного интеграла 1 рода.

3. Работа силового поля (Вывод криволинейного интеграла 2 рода).

4. Вычисление криволинейного интеграла 2 рода.

5. Теорема Остроградского-Грина.

6. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Криволинейный интеграл от полного дифференциала.

МОДУЛЬ 2

III. Поверхностные интегралы.

1. Поверхностный интеграл 1 рода, определение, свойства, вычисление.

2. Поверхностный интеграл 2 рода, определение, способы вычисления.

3. Формула Остроградского-Гаусса.

4. Формула Стокса.

IV. Элементы теории поля.

1. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Градиент скалярного поля, производная по направлению.

2. Векторное поле. Векторные линии.

3. Поток векторного поля.

4. Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса.

5. Циркуляция векторного поля.

6. Ротор векторного поля. Формула Стокса.

7. Оператор Гамильтона (набла), определение, использование для записи функциональных операций. Дифференциальные операции второго порядка.

8. Потенциальные, соленоидальные, гармонические поля. Их свойства.

МОДУЛЬ 3

V. Ряды.

1. Понятие ряда. Сходимость ряда.

2. Необходимое условие сходимости ряда.

3. Сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии.

4. Расходимость гармонического ряда.

5. Признак сравнения рядов.

6. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши.

7. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд.

8. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

9. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.

10. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Свойства абсолютно сходящегося рядов.

11. Степенные ряды. Теорема Абеля.

12. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

13. Разложение функций в ряд Тейлора, Маклорена.

14. Разложение функций e^x, sin x, cos x, (1+x)^m d в ряд.

VI. Элементы гармонического анализа. Ряды Фурье.

1. Разложение функции в ряд Фурье (периода 2π, периода 2 l).

2. Разложение четных и нечетных функций периода 2 π или 2 l в ряд Фурье.

3. Тригонометрический ряд Фурье, амплитудный спектр функции.

Комплексный ряд Фурье. Амплитудный и фазовый спектр функции