Основы аналитической механики

Обобщенные координаты - независимые величины, заданием которых однозначно определяется положение всех точек механической системы. Для голономной несвободной механической системы число обобщенных координат равно числу степеней свободы.

Подавляющее число механизмов, используемых в технике, является системами с одной степенью свободы, например: рычаг, лебедка, кривошипно-шатунный механизм, планетарный механизм, тело, вращающееся вокруг неподвижной оси и т.п. Две степени свободы имеет центробежный регулятор. Три степени свободы имеет: свободная материальная точка; несвободное сферически движущееся тело; тело, совершающее плоское движение. Шесть степеней свободы (наибольшее число степеней свободы) имеет свободное твердое тело в общем случае его движения.

Голономная несвободная механическая система - несвободная механическая система, перемещение которой в пространстве ограничено голономными (интегрируемыми) связями.

Голономная интегрируемая связь - связь, описываемая уравнениями в конечной форме или интегрируемыми дифференциальными уравнениями.

Связь называется двусторонней, если накладываемые ее на координаты точки ограничения выражаются в форме равенств, определяющих поверхности, на которых должна находиться эта точка. Двусторонняя связь препятствует перемещению точки в двух противоположных направлениях. Ограничения, накладываемые на координаты точки односторонней связью, выражаются неравенствами. Односторонняя связь препятствует перемещению точки тела лишь в одном направлении.

Принцип освобождаемости от связей позволяет рассматривать движение несвободной материальной точки как движение свободной точки под действием задаваемых сил и реакций связей.

Возможные (виртуальные) перемещения - воображаемые элементарные (линейные или угловые, например: ; ; ) перемещения точек тела (тел) механической системы), в действительности допускаемые связями, ограничивающими перемещение тела (тел) в пространстве.

Для стационарной (с постоянными по времени связями) механической системы действительные перемещения входят в число ее возможных перемещений, т.е. являются их частными случаями.

Абсолютно гладкая поверхность - научная абстракция, модель, которой заменяется реальная шероховатая поверхность, в результате чего не принимается во внимание трение.

В действительности все поверхности трения достаточно шероховаты и трение имеет место даже при наличии смазки поверхностей трения. В связи с этим силу трения - касательную составляющую полной реакции поверхности как связи - переносят в группу активных (задаваемых) сил, делая тем самым связь условно идеальной, что позволяет применять для решения ряда задач принцип возможных перемещений.

Возможные (виртуальные) перемещения системы (, ) – любая совокупность бесконечно малых перемещений точек системы, допускаемых в данный момент наложенными на систему связями. Возможные перемещения рассматривают как величины первого порядка малости, пренебрегая при этом величинами высших порядков малости. Т.е. криволинейные перемещения точек заменяют прямолинейными отрезками, отложенными по касательным к их траекториям. Возможные перемещения от действующих сил не зависят.

Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы. Например. шар на плоскости может перемещаться в любом направлении, но любое его возможное перемещение может быть получено как геометрическая сумма двух перемещений вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Свободное твердое тело имеет 6 степеней свободы.

Возможная (виртуальная) работа – элементарная работа, которую, действующая на матер.точку сила могла бы совершить на возможном перемещении этой точки.

Связи являются идеальными, если сумма элементарных работ реакций этих связей при любом возможном перемещении системы равна нулю, т.е. . Например, абсолютно гладкая поверхность, шероховатая поверхность в случае качения без скольжения.

Принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю. или в проекциях: .

Принцип возможных перемещений дает в общей форме условия равновесия для любой механической системы, дает общий метод решения задач статики.

Если система имеет несколько степеней свободы, то уравнение принципа возможных перемещений составляют для каждого из независимого перемещений в отдельности, т.е. будет столько уравнений, сколько система имеет степеней свободы.

Общее уравнение динамики – при движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времен сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. Уравнение использует принцип возможных перемещений и принцип Даламбера и позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Дает общий метод решения задач динамики. Последовательность составления: а) к каждому телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно прикладывают силы и моменты пар сил инерции; б) сообщают системе возможные перемещения; в) составляют уравнения принципа возможных перемещений, считая систему находящейся в равновесии.

Уравнения Лагранжа 2-го рода: , (i =1, 2… s) – дифференциальные уравнения второго порядка, s – число степеней свободы системы (число независимых координат); – обобщенная координата (перемещение, угол, площадь и др.); – обобщенная скорость (линейная скорость, угловая, секторная и др.),

Т = Т(, , …, , , … , t) – кинетическая энергия системы, Q_i – обобщенная сила (сила, момент и др.), ее размерность зависит от размерности обобщенной координаты и размерности работы.

Для вычисления обобщенной силы, например Q₁, задаем возможное перемещение, при котором все вариации обобщенных координат, кроме , равны нулю:

, . Вычисляем на этом перемещении возможную работу всех активных сил, приложенных к системе. Имея , находим .

Если силы, действующие на систему, потенциальные (консервативные) (например, силы тяжести, силы упругости), то , – потенциальная энергия.

Вводится функция Лагранжа: L = T – П, тогда – уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы. При стационарных связях (связях, не зависящих от времени) t не входит в выражение для кинетической энергии, тогда – квадратичная форма обобщенных скоростей, – коэффициенты инерции. Квадратичная форма всегда положительна.