Основні формули.

Радіус-вектор точки 1 – це вектор, проведений в цю точку з початку відліку, його проекції на осі прямокутної системи координат (Мал.1):

,

де - координати точки.

Вектор переміщення з точки 1 у точку 2: ,

де - радіус-вектори точок 1 і 2.

Вектор середньої швидкості переміщення за час :

Вектор миттєвої швидкості :

Середня шляхова швидкість: , де = - шлях, пройдений тілом з точки 1 до точки 2.

Вектор середнього прискорення:

Вектор прискорення (Мал.2.):

Прискорення точки в проекціях на дотичну і нормаль траекторії:

- тангенціальне прискорення,

- нормальне прискорення,

де - радіус кривизни траєкторії.

Рівноприскорений рух: , ,

де - радіус-вектор початкового положення тіла, - його початкова швидкість.

Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту (о пором повітря нехтуємо, =10м/с2) (мал.3): . В проекціях на осі: ОХ і ОУ: Радіус-вектор тіла: . В проекціях на осі ОХ і ОУ: ОХ: ОУ:

Найбільша висота підйому , дальність польоту .

Рух тіла по колу (Мал.4.):

Вектор кутової швидкості:

Вектор кутового прискорення:

Зв’язок між лінійними і кутовими величинами: , ,

- радіус-вектор відносно довільної точки на осі обертання, - відстань до осі обертан ня.

середня кутова швидкість: (рад/с);

середнє кутове прискоренн (рад/с²).

Рівномірний рух по колу: (рад) – кутова координата;

(с) - період - час одного оберту;

(1/с)- частота –кількість обертів, здійснених за 1секунду; (рад/с) - колова (циклічна) частота – кількість обертів, здійснених за секунд. При рівномірному русі: ,

Приклади розв’язування задач.

Задача 1. Рівняння прямолінійного руху тіла вздовж осі ОХ має вигляд: . Знайти швидкість тіла в момент часу . В який момент часу після початку руху тіло змінить напрямок руху на протилежний? В який момент тіло повернеться в точку з координатою ?

Дано:

1) =?, 2) =?, 3) =0, =?

Розв’язок.

Знайдемо швидкість і прискорення тіла: 12-8 (м/с) (1) (м/с²) (2)

В момент часу швидкість (м/с).

Тіло змінює напрям руху на протилежний в момент зупинки ( =0), отже час зміни напрямку руху знайдемо з рівняння: 12-8 =0 і отримаєм =1, 5 (с) (3)

Знайдемо час зумови задачі ,

якщо =0, то 5+12 -4 ²=0,

Запишемо це рівняння в канонічному вигляді: 4 ²-12 -5=0, (4)

звідки, розв’язавши його, отримаємо: =3, 375 с.

Відповідь: = - 12м/с; =1, 5с; = 3, 375с.

Задача 2. Один із способів оцінки якості автомобіля ґрунтується на визначенні того, наскільки швидко він розганяється до швидкості 60км/годину. У деяких автомобілів прискорення обмежується не потужністю двигуна, а проковзуванням коліс. Хороші шини забезпечують прискорення приблизно 0, 5 . Скільки часу і який шлях потрібний для розгону автомобіля до швидкості 60км/годину?

Дано: =0

=60км/годину = 16, 8 м/c

=?, =?

Розв’язок.

Так як початкова швидкість =0 і рух рівноприскорений, то:

, (1)

звідки час розгону с

Шлях, пройдений за час розгону: м.

По аналогії з цим прикладом можна визначити мінімальний час і гальмівний шлях до повної зупинки автомобіля, якщо його мінімальне прискорення м/с², а початкова швидкість м/с²:

, (2)
в момент зупинки =0, отже час до зупинки: с.

Як і можна було сподіватися, ми отримали такий самий час, як і при розгоні. Отже гальмівний шлях буде дорівнювати 28, 3м.

Відповідь: = 3, 4с; = 28.3м.

Задача 3. Людина знаходиться в кімнаті на п’ятому поверсі і бачить, як мимо його вікна пролітає зверху квітковий горщик. Відстань 2м, що дорівнює висоті вікна, горщик пролетів за 0, 1 с. Висота одного поверху 4м. Вважаючи =10 м/с², визначте, з якого поверху впав горщик.

Дано: =2 м

=0.1 с

=4 м.

=?

Розв’язок.

Рух горщика рівноприскорений (опором повітря нехтуємо), його початкова швидкість =0. Початок координат виберемо в точці початку руху вісь ОУ спрямуємо з). вниз. Координата верхньої і нижньої частин рами вікна і , причому . Отже: (1)

Враховуючи, що , а , отримаємо:

(3)

Знайдемо час падіння тіла до верхньої частини вікна з виразу (3):

= .(4)

Координата верхньої частини вікна:

м. (5)

Висота одного поверху 4м, тому горщик пролетів поверхів, а падав горщик з 25 поверху.

Відповідь: = 25.

Задача 4. З підводного човна запускається балістична ракета, наведена на місто, яке знаходиться на відстані 3000км від човна. За який час ракета долетить до цілі і яка її стартова швидкість ? При цьому будемо вважати Землю плоскою, прискорення вільного падіння сталим ( =9.8 м/с²), опором повітря і води нехтуємо.

Дано: = 3*10⁶м/с

=?, =?

Розв’язок.

Спочатку вияснимо, під яким кутом треба запустити ракету, щоб вона досягла точки на поверхні Землі. Рух ракети рівноприскорений, тому рівнянням руху є:

1 (1)

В проекціях на осі ОХ і ОУ:

ОХ:

ОУ:

Швидкість ракети змінюється за формулою:

В проекціях на осі ОХ і ОУ:

ОХ:

ОУ:

Траєкторія ракети – парабола. В найвищій точці траєкторії вектор швидкості паралельний осі ОХ, отже і . Звідси отримаємо час підйому ракети:

. (2)

Час руху ракети від запуску до цілі: . (3)

Підставимо в формулу для координати і отримаємо дальність польоту:

(4)

Максимальна дальність польоту буде досягнута, якщо ракету націлити під кутом =45⁰.

Знайдемо початкову швидкість ракети:

= км/с.

Повний час руху ракети буде:

хв.

З цього прикладу видно, що в випадку ракетного нападу максимальний запас часу становить приблизно 10 хвилин, що замало для евакуації міста.

Вияснимо, на яку найбільшу висоту піднімається ракета. Для цього підставимо час в формулу для :

м=749 км

Відповідь: = 5, 42км/с, = 13хв.

Задача 5. Тіло рухається по колу так, що його кутова координата змінюється з часом за формулою: , де =3 рад/с. а = 5 рад/с³. Знайти:

а) залежність кутової швидкості і кутового прискорення від часу; б) час до зупинки;

в) кутове прискорення в момент зупинки.

Дано:

=3 рад/с.

= 5 рад/с³

а) ^-?, б) -? в) -?

Розв’язок.

Модуль кутової швидкості:

(1)

Модуль кутового прискорення: (2)

В момент зупинки () кутова швидкість дорівнює нулю, отже:

(3)

і з (3) отримаємо, що: с.

Кутове прискорення в момент зупинки:

рад/с².

Відповідь: ; = 0, 067с; = -1рад/с².

Задача 6. Знайти кутову швидкість хвилинної стрілки на годиннику. а також лінійну швидкість її кінця, якщо довжина стрілки = 1см.

Дано: = 1см=10^{-2 м.}

=?, =?

Розв’язок

Хвилинна стрілка годинника робить один повний оберт за 1 годину (3600 с).

Кутова швидкість стрілки:

. (1)

Лінійна швидкість кінця стрілки: = (2)

Підставимо числові значення в формули (1) і (2): =2*3, 14: 3600=0, 0017 рад/с, 0, 0017*0, 01=17*10^-4 м/с.

Відповідь: =0, 0017рад/с, =17*10^-4м/с

Задача 7. Колесо обертається з кутовим прискоренням 2рад/с². Через 0, 5с після початку руху повне прискорення колеса 0, 136м/с². Знайти радіус колеса.

Дано: = 2рад/с2, = 0, 5с, = 0, 136м/с2, -?

Розв’язок.

Кутова швидкість колеса:

Лінійна швидкість точки на ободі колеса дорівнює

Тангенціальне прискорення: . Нормальне прискорення: (4)

Повне прискорення точки знайдемо за теоремою Піфагора: = (5)

З формули (5) виразимо радіус колеса

і в отриману формулу підставимо числові значення: = = 0, 062м

Відповідь: =0, 06м.

Задачі для самостійної роботи.

1.1. Камінь, кинутий вертикально вгору, впав на землю через 3с. Якою була початкова швидкість каменя і на яку висоту він піднімався. (15м/с; 11, 25м)

1.2. М’яч, кинутий горизонтально, впав на землю через 0.5с на відстані 5м по горизонталі. З якої висоти кинуто м’яч?. З якою початковою швидкістю? (1, 25м; 10м/с)

1.3. Жаба масою 50г стрибає під кутом 30⁰ на відстань 0, 5м. Які стартова швидкість і максимальна висота стрибка? (3.16м/с; 1, 25м)

1.4. Два м’ячі кинуті з однієї точки з однаковою швидкістю 10м/с під кутами 30⁰ і 60⁰ до горизонту. На яку висоту вони піднімуться? На якій відстані впадуть на землю? (1, 25м, 5м; 3, 75м, 8, 6м)

1.5. Двоє хлопчиків кидають м’яч один одному. На яку найбільшу висоту підніметься м’яч, якщо він летить дві секунди? (5м)

1.6. Рівняння руху тіла вздовж осі ОХ має вигляд: (м). Яку середню швидкість має тіло на проміжку часу від =2с до =6с? (3м/с)

1.7. Тіло рухається в площині так, що координати тіла змінюються за законом: і , де і додатні сталі. Знайти: 1) рівняння траєкторії та зобразити її графік; 2) швидкість і прискорення в залежності від часу.

1.8. Знайти з якою кутовою швидкістю обертається Земля довкола своєї осі та яку лінійну швидкість має точка на екваторі. (461м/с;)

1.9. З якою лінійною швидкістю повинен рухатися літак зі сходу на захід вздовж екватора, щоб пасажирам цього літака Сонце здавалося б нерухомим? (1674км/год.).

1.10. Вентилятор обертається з частотою 900об/хв.. Після виключення вентилятор зробив 75 обертів до зупинки. Скільки часу пройшло від виключення вентилятора до зупинки? (10с).

1.11. Тіло рухається по колу радіусом 2см. Залежність кута повороту від часу: , де =0.1 см*с. Знайти нормальне та тангенціальне прискорення тіла в момент часу, коли лінійна швидкість дорівнює 0, 3м/с. (4, 5м/с²; 0, 06м/с²).

1.12. Знайти швидкість човна відносно берега, якщо: 1) човен пливе за течією; 2) човен пливе проти течії; човен рухається під кутом 90⁰ до течії. Швидкість течії ріки 1м/с, швидкість човна відносно води 2м/с. (3м/с; 1м/с: 2.24м/с)

1.13. Точка починає рухатися по колу радіусом 10см зі швидкістю , де =0.5м/с². Знайти її повне прискорення в момент часу 2с. (10м/с²).

1.14. Між двома пунктами, розташованими на березі річки на відстані 24км. ухається катер. Рухаючись за течією, катер проходить цю відстань за 2 години, а рухаючись проти течії - за 3 години. Знайти швидкість течії річки і швидкість катера відносно води.(3км/годину; 9км/годину).

1.15. Тіло, що рухається по колу радіусом 20см, зробило ¾ оберта. Визначити переміщення та шлях тіла (14, 1м; 47, 1м).

1.16. Знайти кутове прискорення колеса, якщо відомо. Що через час 2с півля початку руху вектор повного прискорення точки на ободі колеса утворює кут 60⁰ з з вектором її лінійної швидкості. (0.45 рад/с).

1.17. Знайти радіус колеса, що обертається, якщо лінійна швидкіст ь точки А на ободі колеса в 2, 5 рази більша від лінійної швидкості точки В, яка знаходиться на 5см ближче до осі колеса. (8, 33см).