Понятие о векторной оптимизации

На практике часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда операция не может быть оценена с помощью единственного критерия эффективности. Тогда операция описывается с помощью вектора Ф=(Ф₁, Ф₂,..., Ф_n) показателей эффективности, причем, как правило, одни показатели необходимо обратить в максимум, а другие — в минимум.

Для принятия решения в такой ситуации приходится сравнивать вектора с различными компонентами, что требует наличия правила позволяющего выбрать один, наилучший в некотором смысле (оптимальный).

Соответствующая общая задача исследования операций может быть сформулирована следующим образом.

Имеется некоторая операция О, эффективность которой оценивается с помощью векторного критерия эффективности Ф = (Ф_{1, …} Фз, …, Фn). Необходимо найти такую стратегию X по управлению операцией О, чтобы она удовлетворяла следующим условиям:

· стратегия X должна быть осуществимой, т. е. принадлежать области допустимых значений W';

· стратегия X должна быть наилучшей в смысле принятого в операции правила сравнения векторов, которое в дальнейшем будем называть правилом компромисса.

Нахождение решения в данной ситуации сталкивается с рядом проблем.

Проблема 1— определение области компромисса. При решении задачи векторной оптимизации между некоторыми локальными критериями возникает противоречие. Суть этого противоречия состоит в том, что стремление улучшить какой-либо один локальный критерий ведет, как правило, к ухудшению другого (например, стремление повысить надежность технического устройства и одновременно снизить его стоимость является противоречивым).

Проблема 2 — выбор схемы достижения компромисса.

Проблема 3 — нормализация критериев.Эта проблема встречается только в тех задачах, в которых локальные критерии имеют различные единицы измерения. Решение этой проблемы состоит в нормализации критериев, т.е. в сведении всех критериев к единому, обычно безразмерному масштабу измерения.

Проблема 4 — учет приоритета критериев.Часто локальные критерии имеют различную степень важности, которую необходимо учитывать при решении задачи. Эта степень обычно задается в виде вектора приоритетов при постановке задачи.

Способы свертки критериев в задачах векторной оптимизации

Пусть некоторая операция О состоит из ряда более мелких операций О_1, 0₂,..., О_n, каждая из которых имеет свой единственный критерий эффективности (Ф_1, Ф₂,..., Ф_п) соответственно.

Для исследования операции О необходимо выбрать некоторую схему компромисса, позволяющую при поиске оптимального решения иметь дело с некоторым единственным критерием эффективности, причем этот обобщенный критерий эффективности операции О получается как функция частных критериев эффективности, т.е. Ф_е = F (Ф ₁, Ф ₂ ,..., Ф_п). Такую процедуру получения критерия объединенной операции называют сверткой векторного критерия эффективности.

Будем для простоты предполагать, что все частные критерии и Ф_е необходимо обратить в максимум.

1. Суммирование, или «экономический» способ свертки.

Сущность этого способа состоит в том, что максимизируется критерий объединенной операции О, получающийся в результате суммирования всех частных критериев:

Ф_е =å a_i Ф_i

При данном способе свертки критериев могут возникать трудности, связанные с обоснованным выбором удельных весов a_i.

2. Способ свертки, основанный на представлении обобщенного критерия в виде качественного путем разбиения компонентов вектора Ф_е = (Ф_1, Ф₂,..., Ф_n) на удовлетворительные и неудовлетворительные.

В этом случае вводят в рассмотрение вектор Ф°=(Ф^о₁, Ф°₂,..., Ф°_n), компоненты которого определяют необходимые уровни достижения частных критериев. При этом Ф_е запишется следующим образом:

Ф_е =1, если Ф_i > Ф^о_i , i = 1, …, п;

Ф_е = 0 в противном случае.

Трудность этого способа свертки состоит в объективности и обоснованности представлений вектора Ф°.

3. Способ свертки, основанный на последовательном достижении частных целей.

При этом способе свертки каждая последующая операция учитывается лишь тогда, когда достигнуты абсолютные максимумы критериев предыдущих операций.

4. Логическое свертывание критериев.

При этом способе предполагается, что все частные критерии являются качественными, т.е. принимают значения 0 или 1. Тогда обобщенный критерий можно получить, например, способом логического умножения, когда обобщенная цель объединенной операции состоит в достижении целей всех частных операций или способом логического сложения, когда обобщенная цель объединенной операции состоит в достижении цели хотя бы одной частной операции.

Литература

1. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. – СПб.: Изд-во СПбГУ, 2008.

2. Таха Х. Введение в исследование операций. - М.: Мир, 2005, 2009.

3. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.В. Математические методы для менеджеров. – СПб.: «Лань», 2005.

4. Ботвин Г.А., Мардас А.Н. Сетевые модели в инновационном менеджменте. СПб.: СПбГУ, ОЦЭиМ, 2007

5. Писарук Н.Н. Исследование операций. – Мн.: Изд-во БГУ, 2011.