Циклическая природа математического моделирования

При написании раздела 2 автором использовалась монография Робертса (1986).

Процесс математического моделирования включает четырехзвенный контур, в упрощенном виде изображенный на рис. 2.1.

На первоначальном этапе происходит сбор сведений об изучаемом объекте или явлении. Затем формулируют определенные допущения об этом объекте на строгом языке – языке математики. Так получается математическая модель. На точном языке, который обычно используется для описания модели, общие допущения, законы и теории можно сформулировать таким образом, чтобы изложить само существо дела, а не различия, возникающие из-за употребления нечетких терминов. Более того, становится возможным применить развитые в течение нескольких столетий точные методы исследований к изучению явлений реального мира. В любом случае формальная модель строится на математических допущениях и следующие два блока контура предназначены для испытания построенной модели, а в случае необходимости и для ее модификации. Для проверки модели желательно получить некоторые выводы о реальном объекте или явлении. Такие выводы бывают двух типов: одни относятся к ранее наблюдавшимся ситуациям (и носят объяснительный характер), а другие относятся к новым, ранее не наблюдавшимся ситуациям (и используются для предсказания или прогноза). «Объяснительная» и «предсказательная» способность модели являются главными факторами, определяющими принятие или непринятие модели, равно как и технологии её создания.

Оба типа выводов важны для проверки математической модели, хотя в нашем обсуждении целесообразно относиться к ним обоим как к прогнозам. Для получения таких прогнозов сначала при

помощи математических методов, разработанных ранее или специально для данной математической модели, составляются математи-

ческие прогнозы. Эти математические прогнозы затем переводятся

с языка модели обратно на язык реального мира и, следовательно, могут интерпретироваться как прогнозы или выводы для изучаемого объекта или явления.

На заключительном этапе прогнозы сверяются с реальными данными, либо известными (в случае проверок объяснительных возможностей модели), либо новыми (в случае проверок ее предсказывающих возможностей). На основе новых данных, включающих и сведения о прогнозе, рассчитанном по модели, модель модифицируется, и процесс исследования циклически повторяется по тому же контуру.

Таким образом, любая математическая модель признается лишь временной. Циклический процесс продолжается все время, и новые порции данных должны повышать объяснительную или предсказывающую способность модели. Следует иметь в виду, что не всякая математическая модель создается в описанной выше последовательности, т.е. некоторые шаги могут пропускаться, повторяться и т.п. Но в качестве некоторой идеализации подобная четырехэтапная процедура вполне приемлема.

Процесс математического моделирования непрерывно ведет к последовательно усложняющимся моделям. Это верно даже для такой развитой области науки, как физика. В конечном счете, модели могут оказаться настолько сложными, что они будут заменены другими более простыми моделями, позволяющими так же или даже лучше объяснять реально происходящие явления. В любом случае модель всегда считается предварительной и должна постоянно оцениваться и обосновываться.

В представленном выше описании процесс математического моделирования разделен на четыре этапа. Следует подчеркнуть различие между этапом трансляции, на котором происходит переход от сведений о реальных явлениях к математической модели (т.е. построение модели), и этапом прогнозирования, которое состоит в следующем. Первый этап – индуктивный: на основе ряда наблюдений угадывается общая закономерность. Подобные выводы В.И. Вернадский называл «эмпирическими обобщениями». Второй - дедуктивный: на основе принятых допущений и хорошо известных правил вывода приходят к определенным заключениям. В течение многих лет вопрос о различии между индуктивным и дедуктивным подходами был предметом споров между философами. Как правило, индукция не обосновывается точными законами. В лучшем случае общая картина, полученная из наблюдений ряда частных случаев, есть нечто, что может быть познано из опыта; в худшем случае – только то, в чем мы никогда не можем быть полностью уверены. Следовательно, нельзя утверждать, что существует единственная " правильная" модель. А поэтому, по мнению Робертса (1986) в некотором смысле невозможно и обучение искусству математического моделирования. С другой стороны, по крайней мере в идеальном случае, дедукция или дедуктивные рассуждения строятся на очень строгих правилах вывода. Пользоваться ими можно обучить, в принципе, любого, и усвоивший их обладает надежным методом проверки спорных аргументов. Этой чертой дедуктивного метода объясняется основное преимущество математического моделирования. Приняв допущения, на основе которых неточную ситуацию можно перевести в точную, мы уже не можем оспаривать сделанные выводы: их истинность или ложность зависят только от этих допущений. Единственно, что можно оспаривать – это способ перехода от неточной ситуации к модели или более конкретно: насколько правильно были сделаны предположения. Циклическая процедура математического моделирования и предназначена для испытания корректности принимаемых допущений.

Из дедуктивного метода возникает еще одно преимущество математического моделирования: в некотором смысле вся математика представляет собой совокупность методов для дедуктивных выводов, и вся мощь математики становится пригодной для получения всевозможных заключений о нашей модели.

Третий этап в процессе моделирования – переход от математических выводов к следствиям для реального мира не оказывается в той же степени трудным, что и первый этап – процедура перевода реального объекта или явления в модель. Если этот первый этап выполнен достаточно тщательно, то математические заключения или прогнозы должны легко интерпретироваться как выводы или прогнозы для реального мира.

Сравнение этих выводов с исходными данными включает решение вопроса о степени точности прогнозов (и, следовательно, модели).

Региональная структурная модель не обязана быть слишком точной, зато она должна давать принципиально правильную картину геологического строения в пределах огромного региона – желательно, с выявлением зон возможных скоплений УВ. Если же моделирование ведётся для конкретного месторождения с целью оценки ресурсов УВ, она должна быть значительно более точной и учитывать локальные особенности геологического строения, которым не может быть места на региональной карте.

Среди подходов, используемых для проверки точности модели, основным средством является прикладная статистика. Статистические методы проверки точности и адекватности модели в этом выпуске не описываются и будут рассмотрены в последующих выпусках.