Детерминированные эквиваленты вероятностных ограничений

Применение традиционных методов решения требует преобразования вероятностных ограничений в соответствующие им детерминированные эквиваленты. Известно, что обычно этот процесс реализовать весьма непросто и успешным он бывает лишь в отдельных специальных случаях. Рассмотрим вероятностное ограничение, записанное в следующем виде:

. (6.14)

Ясно, что

(I) вероятностные ограничения (6.2) представляют собой набор ограничений вида (6.14);

(II) стохастическое ограничение на целевую функцию совпадает с ограничением вида (6.14), если ввести определение ;

(III) стохастическое ограничение на целевую функцию совпадает с ограничением вида (6.14), если ввести определение ;

(IV) стохастические ограничения на цели и совпадают с ограничением вида (6.14), если ввести определения b- и b - , соответственно и

(V) стохастические ограничения на цели и совпадают с ограничением вида (6.14), если ввести определения - b и , соответственно.

В этом разделе приведена сводка ряда известных результатов.

Теорема 6.1. Пусть случайный вектор вырождается в случайную величину с функцией распределения Ф, а функция имеет вид = h(x)- . Тогда будет втом и только в том случае, если h(x) , где .

Доказательство: Предположим, что неравенство может быть записано в следующем виде

. (6.15)

Ясно, что для каждого заданного доверительного уровня существует некоторое число (таких чисел может быть несколько или даже бесконечно много) такое, что

(6.16)

и вероятность будет возрастать, если заменить меньшим числом. Поэтому тогда и только тогда, когда

Отметим, что равенство удовлетворяется всегда. Следовательно, в соответствии с (6.16),

= ,

где – обратная функция для Ф. В ряде случаев решение уравнения (6.16) будет не единственным, что равносильно многозначности функции . В такой ситуации следует выбирать решение, наибольшее из имеющихся, т.е.

Таким образом, требуемым детерминированным эквивалентом является . Теорема доказана.

Предположим, что имеются следующие вероятностные ограничения:

(6.17)

где – экспоненциально распределенная случайная величина EXP(2), распределение вероятностей для которой обозначим как , а – нормально распределенная случайная величина N(2, 1), распределение вероятностей для нее обозначим как , Из теоремы 6.1. следует, что вероятностные ограничения (6.17) эквивалентны детерминированным ограничением вида

Теорема 6.2. Пусть имеется случайный вектор , а функция g(x, ) принимает вид g(x, )= . Если и bпредставляют собой независимые нормально распределенные случайные величины, тогда тогда и только тогда, когда

, (6.18)

где Ф – нормированное нормальное распределение.

Доказательство: Вероятностное ограничение может быть записано в следующем виде

Pr . (6.19)

Поскольку и b предполагаются независимыми нормально распределенными случайными величинами, функция

Также является нормально распределенной функцией со следующими значениями математического ожидания и дисперсии

Отметим, что случайная величина

Должна быть нормированной нормально распределенной, т.е. иметь вид N(0, 1). Поскольку неравенство эквивалентно выражению

Вероятностное ограничение (6.19) эквивалентно ограничению

(6.20)

Где - нормированная нормально распределенная случайная величина. Итак, вероятностное ограничение (6.20) удовлетвориться только тогда и только тогда, когда

(6.21)

Отсюда следует, что детерминированным эквивалентом рассматриваемого вероятностного ограничения является выражение (6.18). Теорема доказана.

Предположим, например, что вероятностное ограничение имеет следующий вид

(6.22)

где и b – нормально распределенные величины N(1.1), N(2.1), N(3.1) и N(4.1), соответственно. Тогда формула (6.18) позволяет получить детерминированный эквивалент для ограничения (6.22), который примет вид

учитывая тот факт, что (0.95)=1.645.