Теоретична частина. Оцінки числових характеристик законів розподілу імовірності випадкових чисел чи величин, які зображені точкою на числовій осі

Оцінки числових характеристик законів розподілу імовірності випадкових чисел чи величин, які зображені точкою на числовій осі, називаються точковими. На відміну від самих числових характеристик їхні оцінки є випадковими, причому їхні значення залежать від обсягу експериментальних даних, а закони розподілу імовірності - від законів розподілу імовірності самих випадкових чисел чи значень вимірюваних величин. Оцінки повинні задовольняти трьом вимогам: бути складовими, незміщеними й ефективними. Складовою називається оцінка, що сходиться за імовірністю до оцінюваної числової характеристики. Незміщеною є оцінка, математичне сподівання якої дорівнює оцінюваній числовій характеристиці. Найбільш ефективною вважають ту з декількох можливих незміщених оцінок, що має найменше розсіювання.

Розглянемо п незалежних значень Q_i, які отримані при вимірюванні фізичної величини постійного розміру. Середнє арифметичне значення результату вимірювання

, (5.1)

яке сходиться за імовірністю до , при будь-якому законі розподілення імовірності результату вимірювання може служити складовою точковою оцінкою середнього значення.

Середнє арифметичне при будь-якому законі розподілу імовірності результату вимірювання є не тільки складовою, але й незміщеною оцінкою середнього значення. Цим забезпечується правильність результату багаторазового вимірювання.

Точність результату багаторазового вимірювання залежить від ефективності оцінки середнього значення. Чим вона ефективніше (чим менше її розсіювання), тим вище точність. Критерії ефективності можуть бути різними. При нормальному законі розподілу імовірності найбільш популярним є такий показник ефективності (міра розсіювання), як сума квадратів відхилень від середнього значення. Чим менше цей показник, тим ефективніше оцінка. Це дозволяє поставити завдання відшукання оцінки середнього значення, найбільш ефективної за критерієм

, (5.2)

Таке завдання називається завданням синтезу оптимальної (тобто найкращої в змісті обраного критерію) оцінки середнього значення, а метод її вирішення, заснований на використанні критерію (5.2) - методом найменших квадратів.

Досліджуємо функцію в лівій частині виразу (5.2) на екстремум. Вона досягає мінімуму при

. (5.3)

Після зведення в квадрат і по членного диференціювання одержимо

. (5.4)

Якщо за оцінку вибрати середнє арифметичне , то рівність

(5.5)

буде виконуватися при п → внаслідок складової цієї оцінки. Таким чином, середнє арифметичне є не тільки складовою і незміщеною, але і найбільш ефективною за критерієм найменших квадратів точкової оцінки середнього значення результату вимірювання.

Як точкову оцінку дисперсії результату вимірювання за аналогією із середнім арифметичним можна було б взяти

. (5.6)

При будь-якому законі розподілу імовірності результату вимірювання ця оцінка є складовою, тому що при п → другий доданок у правій частині прагне до нуля, а перший – до . Але

, (5.7)

тобто така оцінка є зміщеною. Незміщену оцінку можна одержати, помноживши її на коефіцієнт . При п → цей коефіцієнт прагне до 1, тому незміщена точкова оцінка дисперсії

, (5.8)

при будь-якому законі розподілу імовірності результату вимірювання залишається складовою. Квадратний корінь з неї

(5.9)

називається стандартним відхиленням.

Оцінивши середнє значення і середнє квадратичне відхилення результату вимірювання, можна, використовуючи замість цих числових характеристик точкові оцінки і S_Q, за правилом " трьох сигм" перевірити, чи не є деякі сумнівні значення помилковими. Коли виявиться, що вони відрізняються від середнього арифметичного більше ніж на 3 S_Q, то їх варто відкинути. Після цього розраховуються остаточні значення і S_Q.