Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Знакочередующиеся ряды
|
|
ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ
1. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Теорема Лейбница.
2. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
До сих пор мы рассматривали и изучали ряды с положительными членами. Перейдем к общему случаю. Будем рассматривать ряды, содержащие положительные и отрицательные члены. Такие ряды называются знакопеременными.
Изучение знакопеременных рядов начнем с частного случая - знакочередующихся рядов.
Вопрос 1. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Теорема Лейбница
Знакочередующиеся ряды
О.1.1. Ряд, у которого два соседних члена имеют противоположные знаки, называется знакочередующимся.
Знакочередующийся ряд имеет вид
(1)
где an > 0 (n = 1, 2, ….) положительны.
Для знакочередующихся рядов существует достаточный признак сходимости, установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к Бернулли.
Т.1.1.(признак Лейбница)
Если члены знакочередующегося ряда (1) по абсолютной величине монотонно убывают, т.е.
an > an+1, n = 1, 2, ….
и общий член ряда стремится к нулю, т.е.
то ряд (1)сходится и его сумма S удовлетворяет неравенствам
0 < S < a1.
Замечание
Исследование знакочередующегося ряда вида
‒ a1 + a2 ‒ a3 + a4 ‒ …… (2)
сводится путем умножения всех его членов на (‒ 1) к исследованию ряда (1).
Ряды (1) и (2), для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими.
Следствие (оценка остатка знакочередующегося ряда)
Остаток rn лейбницевского ряда (1) имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине, т.е.
| rn | < an+1.
Здесь идет речь о сумме остатка ряда (для сходящихся рядов: остаток ряда и сумма остатка понимаются как одно и тоже).
Полученное неравенство используется в приближенных вычислениях для подсчета абсолютной ошибки замены суммы ряда ее частичной суммой. Иначе говоря, ошибка, совершаемая при замене S на Sn, меньше по абсолютной величине первого из отброшенных членов ряда.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд 
Решение
1. Для " nÎ N: 
т.е. an > an+1 Þ первое условие теоремы Лейбница выполнено.
2. 
Þ второе условие теоремы Лейбница выполнено.
Вывод: на основании теоремы Лейбница данный ряд сходится.
Рассмотренные знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.