Серия 6

Серия 6

1. В роще растут 18 дубов. На них поровну желудей. Подул ветер и с некоторых дубов осыпались желуди: с каких-то – ровно половина, с каких-то – ровно треть, с остальных же ничего не упало. При этом со всех дубов вместе упала ровно одна девятая часть всех желудей. Со скольких дубов желуди не упали?

2. Придумайте девятизначное натуральное число, в записи которого присутствует хотя бы одна единица, хотя бы одна тройка и хотя бы одна семерка, и которое обладает следующими тремя свойствами:

- если в нем вычеркнуть все единицы, то получится число, делящееся на 73;

- если в нем вычеркнуть всех тройки, то получится число, делящееся на 71;

- если в нем вычеркнуть все семерки, то получится число, делящееся на 13.

3. Натуральное число n равно произведению двух простых чисел. Каждое из этих простых чисел увеличили на 1. Произведение полученных чисел оказалось на 100 больше, чем число n. Чему равно число n?

4. По кругу стоят числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, … 99, 101. Можно ли сделать все числа равными, если:

а) Разрешается к любым двум или трём подряд идущим числам прибавлять по 1.

б) Разрешается к любым двум прибавлять по 1.

5. Двое играют, поочередно выставляя крестики и нолики на квадратном поле 9х9. В конце каждый получает очко за каждую строку и/или столбец, в которых его знаков больше. Кто выигрывает при правильной игре?

6. Трех девочек – Аню, Полину и Таню – усадили в ряд так, что Аня видит Полину и Таню, Полина видит только Таню, а Таня никого не видит. Затем им показали 5 бантиков – 3 красных и 2 белых, завязали глаза и прицепили каждой на голову один из бантиков. Затем глаза им развязали и каждую спросили, может ли она определить цвет своего бантика.

а) Аня отвечала первой и сразу сказала, что знает, какого цвета на ней бантик. Какого цвета бантики на Ане, Тане и Полине?

б) После того, как Аня, а затем и Полина ответили, что не могут определить, Таня поняла, какого цвета на ней бантик. Какого же?

Серия 6

1. В роще растут 18 дубов. На них поровну желудей. Подул ветер и с некоторых дубов осыпались желуди: с каких-то – ровно половина, с каких-то – ровно треть, с остальных же ничего не упало. При этом со всех дубов вместе упала ровно одна девятая часть всех желудей. Со скольких дубов желуди не упали?

2. Придумайте девятизначное натуральное число, в записи которого присутствует хотя бы одна единица, хотя бы одна тройка и хотя бы одна семерка, и которое обладает следующими тремя свойствами:

- если в нем вычеркнуть все единицы, то получится число, делящееся на 73;

- если в нем вычеркнуть всех тройки, то получится число, делящееся на 71;

- если в нем вычеркнуть все семерки, то получится число, делящееся на 13.

3. Натуральное число n равно произведению двух простых чисел. Каждое из этих простых чисел увеличили на 1. Произведение полученных чисел оказалось на 100 больше, чем число n. Чему равно число n?

4. По кругу стоят числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, … 99, 101. Можно ли сделать все числа равными, если:

а) Разрешается к любым двум или трём подряд идущим числам прибавлять по 1.

б) Разрешается к любым двум прибавлять по 1.

5. Двое играют, поочередно выставляя крестики и нолики на квадратном поле 9х9. В конце каждый получает очко за каждую строку и/или столбец, в которых его знаков больше. Кто выигрывает при правильной игре?

6. Трех девочек – Аню, Полину и Таню – усадили в ряд так, что Аня видит Полину и Таню, Полина видит только Таню, а Таня никого не видит. Затем им показали 5 бантиков – 3 красных и 2 белых, завязали глаза и прицепили каждой на голову один из бантиков. Затем глаза им развязали и каждую спросили, может ли она определить цвет своего бантика.

а) Аня отвечала первой и сразу сказала, что знает, какого цвета на ней бантик. Какого цвета бантики на Ане, Тане и Полине?

б) После того, как Аня, а затем и Полина ответили, что не могут определить, Таня поняла, какого цвета на ней бантик. Какого же?