Остаток ряда

О.3.1. Если в ряде (1) отбросить n первых членов, то полученный ряд

, (4)

называется n-м остатком ряда (1).

Из свойства 3 следует, что ряд (1) и его остаток (4) одновременно сходятся или расходятся.

Из свойства 3 так же следует, что если ряд (1) сходится, то его остаток

стремится к нулю при n ® ¥, т.е.

Вопрос 4. Необходимый признак сходимости числового ряда

Нахождение n-й частичной суммы S_n и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения вопроса о сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости. Первым из них, как правило, является необходимый признак сходимости.

Т 4.1. (необходимый признак сходимости).

Если ряд (1) сходится, то его общий член a_n стремится к нулю при n ® ¥, т.е.

.

С л е д с т в и е (достаточное условие расходимости ряда)

Если или этот предел не существует, то ряд (1) расходится.

Пример 3. Ряд расходится, так как

Замечание.

Теорема 4.1 дает необходимое, но не достаточное условие сходимости ряда (1): из того, что еще не следует, что ряд (1) сходится.

Одним из примеров расходящегося ряда, для которого выполняется условие , является гармонический ряд.

Вопрос 5. Гармонический ряд

О.5.1. Ряд вида

(5)

называется гармоническим рядом.

Исследуем сходимость ряда (5). Очевидно, что т.е. необходимый признак сходимости ряда выполняется. Покажем, что ряд (5) расходится.

Известно, что (2-й замечательный предел). Отсюда следует, что при " nÎ N имеет место неравенство

Логарифмируя это неравенство по основанию е, получим

Подставляя в последнее неравенство поочередно n = 1, 2, 3, …, n ‒ 1, n, получим

………………,

Сложив почленно данные неравенства, получим

Так как то Þ гармонический ряд (5) расходится.

Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость или расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью так называемых достаточных признаков. Рассмотрим некоторые из них для знакоположительных рядов.

Вопрос 6. Критерий сходимости рядов с положительными членами. Признаки сравнения

рядов