Стандартные (эталонные) ряды

1. Ряд геометрической прогрессии ‒ сходится при |q| < 1 и расходится при |q| ≥ 1.

2. Гармонический ряд ‒ расходится.

3. Обобщенный гармонический ряд ‒ сходится при a > 1 и расходится при a £ 1.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение

Так как то сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом (a = 2 > 1):

Ряд (больший) сходится. Значит и данный ряд (меньший) сходится.

Т.6.3. (предельныйпризнак сравнения)

Пусть даны два положительных ряда (1) и (3). Если существует конечный, отличный от нуля, предел

(0 < A < ¥),

то оба ряда (1) и (3) одновременно сходятся или расходятся.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение

Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом :

Тогда

Следовательно, данный ряд , как и гармонический ряд, расходится.

Вопрос 7. Признаки Даламбера и Коши

Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосредственно судить о сходимости (или расходимости) данного ряда, не сравнивая его с другим рядом, о котором известно, сходится он или расходится. К числу таких признаков относятся признаки Даламбера и Коши.

Т.7.1. (признак Даламбера)

Пусть дан положительный ряд (1) и существует предел

Тогда ряд (1) сходится при D < 1 и расходится при D > 1.

Замечание

1. Если D =1, то вопрос о сходимости ряда (1) остается открытым. В этом случае необходимо дополнительно исследовать ряд.
2. Признак Даламбера целесообразно использовать, когда общий член ряда содержит выражение вида n! или cⁿ (с – число).

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

Решение

‒ ряд сходится.

Иногда удобно пользоваться радикальным признаком Коши для исследования сходимости положительных рядов. Этот признак во многом схож с признаком Даламбера, о чем говорит его формулировка.

T.7.2. (радикальный признак Коши)

Пусть дан положительный ряд (1) и существует предел

.

Тогда ряд (1) сходится при D < 1 и расходится при D > 1.

Замечание

Если D =1, то вопрос о сходимости ряда (1) остается открытым.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

Решение

‒ ряд сходится.

Вопрос 8. Интегральный признак сходимости

Т.8.1. (интегральный признак сходимости или интегральный признак Коши)

Если члены положительного ряда (1) могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1; ¥) функции f(x) так, что a₁ = f(1),

a₂ = f(2), …., a_n = f(n), …, то:

1) если сходится, то сходится и ряд (1);

2) если расходится, то расходится и ряд (1).

Замечание

1. Вместо интеграла можно брать интеграл , где kÎ N и k > 1.
2. Практически функция f(x) выбирается так: в формулу для общего члена a_n вместо n подставляют x. Например, если то

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Решение

‒ удовлетворяет условиям теоремы 3.1.

Следовательно, интеграл и данный ряд расходятся.