Задача 2.

1. Вычислить , где область ограничена линиями , , .

2. Вычислить , где область ограничена линиями , , .

3. Вычислить , где область ограничена линиями , , .

4. Вычислить , где область ограничена линиями , , .

5.. Вычислить , где область ограничена линиями , , .

6. Вычислить , где область ограничена линиями , ,

7. Вычислить , где область ограничена линиями , , .

8. Вычислить , где область ограничена линиями , , .

9. Вычислить , где область ограничена линиями , ,

10. Вычислить , где область ограничена линиями , , .

Задача 3. Применяя двойной интеграл, вычислить площадь криволинейной трапеции.

1. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
а) , , , ;
б) , , , .

2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
а) , ;
б) .

3. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
а) , , , ;
б) .

4. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
а) , , , ;
б)

5. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
а) , , , ;
б) .

6. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
а) , , , ;
б) .

7. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
а) , , , ;
б)

8. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
а) , , , ;
б)

9. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
а) , , , ;
б) .

10. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
а) , , , ;
б)

Задача 4. Найти массу пластинки D, ограниченной заданными линиями, если F(x, y) – её поверхностная плотность.

1.x = 1, y = 0, y² = 16x (y≥ 0), F(x, y) = 16x + 9y²/2

2. x = 2, y² = x/2, y = 0 (y ≥ 0), F(x, y) = 4x + 6y²

3. x = 1, y² = 4x, y = 0 (y ≥ 0), F(x, y) = 6x + 3y²

4. x = 2, y = 0, y² =x/2 (y ≥ 0), F(x, y) = 7x²/2+ 8y

5. x = 2, y = 0, y² =2x (y ≥ 0), F(x, y) = 7x²/4+ y

6. x = 1, y = 0, y² =4x (y ≥ 0), F(x, y) = 7x²+ 2y

7. x = 1/2, y = 0, y² =2x (y ≥ 0), F(x, y) =4x+9y²

8. x = 1, y = 0, y² =4x (y ≥ 0) F(x, y) = 6x+3y²

9. x = 1, y² = 4x, y = 0 (y ≥ 0), F(x, y) = x + 3y²

10. x = 1, y² = x, y = 0 (y ≥ 0), F(x, y) = 3x + 6y²

Задача 5. Найти массу пластинки D, ограниченной заданными линиями, если F(x, y) – её поверхностная плотность, используя полярные координаты.

1. x² + y² = 4, x² + y² = 9, x = 0, y = 0 (x ≤ 0, y ≥ 0); F(x, y) = (y – 2x)/(x² + y²)

2. x² + y² = 4, x² + y² = 9, x = 0, y = 0 (x ≤ 0, y ≥ 0); F(x, y) = (y – 4x)/(x² + y²)

3. x² + y² = 4, x² + y² = 16, x = 0, y = 0 (y ≤ 0, x ≥ 0); F(x, y) = (3x - y)/(x² + y²)

4. x² + y² = 1, x² + y² = 9, x = 0, y = 0 (y ≤ 0, x ≥ 0); F(x, y) = (2x – y)/(x² + y²)

5. x² + y² = 4, x² + y² = 9, x = 0, y = 0 (x ≤ 0, y ≥ 0); F(x, y) = (y – 2x)/(x² + y²)

6. x² + y² = 1, x² + y² = 25, x = 0, y = 0 (y ≤ 0, x ≥ 0); F(x, y) = (x – 4y)/(x² + y²)

7. x² + y² = 4, x² + y² = 9, x = 0, y = 0 (x ≤ 0, y ≥ 0); F(x, y) = (y – 4x)/(x² + y²)

8. x² + y² = 4, x² + y² = 16, x = 0, y = 0 (y ≤ 0, x ≥ 0); F(x, y) = (3x - y)/(x² + y²)

9. x² + y² = 1, x² + y² = 25, x = 0, y = 0 (y ≤ 0, x ≥ 0); F(x, y) = (x – 4y)/(x² + y²)

10. x² + y² = 1, x² + y² = 4, x = 0, y = 0 (y ≤ 0, x ≥ 0); F(x, y) = (x +2y)/(x² + y²)

Задача 6. Переходя к полярным координатам, с помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. а) x² – 2y+y² =0; x² – 4y+y² =0; y=x; x=0

б) x² –4x+y² =0; x² – 8x+y² =0; y=0; y= x

2. а) x² – 6y+y² =0; x² – 8y+y² =0; y=x; x=0

б) x² –2x+y² =0; x² – 4x+y² =0; y=0; y= x

3. а) x² – 8y+y² =0; x² – 10y+y² =0; y=x; y=0

б) x² –2x+y² =0; x² – 6x+y² =0; y=0; y= x

4. а) x² – 4y+y² =0; x² – 6y+y² =0; y=x; y=0

б) x² –2x+y² =0; x² – 8x+y² =0; y=0; y= x

5. а) x² – 6y+y² =0; x² – 10y+y² =0; y=x; y=0

б) x² –2x+y² =0; x² – 4x+y² =0; y=0; y= x

6. а) x² – 2y+y² =0; x² – 6y+y² =0; y=x; y=0

б) x² –4x+y² =0; x² – 8x+y² =0; y=0; y= x

7. а) x² – 2y+y² =0; x² – 8y+y² =0; y=x; y=0

б) x² –2x+y² =0; x² – 6x+y² =0; y=0; y= x

8. а) x² – 2y+y² =0; x² – 8y+y² =0; y=x; y=0

б) x² –4x+y² =0; x² – 6x+y² =0; y=0; y= x

9. а) x² – 2y+y² =0; x² – 10y+y² =0; y=x; y=0

б) x² –2x+y² =0; x² – 4x+y² =0; y=0; y= x

10. а) x² – 2y+y² =0; x² – 4y+y² =0; y=x; y=0

б) x² –6x+y² =0; x² – 8x+y² =0; y=0; y= x

Задача 7. Вычислить данный тройной интеграл:

1. V: 2≤ x ≤ 3, -1 ≤ y ≤ 2, 0≤ z ≤ 4

2. V:

3. V: { x = –1, x =1, y =0, y =2, z = –1, z =1}

4. V: { x =0, x =3, y =0, y =2, z = –1, z =1}

5. V: { x = –1, x =1, y = – 1, y =2, z = 0, z =2}

6. V: { x = –1, x =3, y =0, y =2, z = –2, z =5}

7. V: { x =1, x =5, y =0, y =2, z = –1, z =0}

8. V: { x =0, x =2, y = –1, y =0, z = 0, z =4}

9. V: { x =0, x =1, y =0, y =2, z = –1, z =3}

10. V: { x =1, x =3, y =0, y =3, z = 0, z=2}

Задача 8. Вычислить объём тела, ограниченного заданными поверхностями

1. z = x ² + y ², x + y =1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

2. z = 2 x ² + y ², x + y =4, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

3. z = 2 x ² + y ², x + y =1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

4. z = x ² + 2 y ², y = x, x ≥ 0, y = 1, z ≥ 0

5. z = x ² + y ², 3 x +2 y =6, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

6. z = 6– x ²– y ², 3 x+ 4 y =6, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

7. z = 16– x ²– y ², x+y =4, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

8. z = x ² + y ², 5 x + y =5, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

9. z = 3+ x ² + y ², 2 x +3 y =6, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

10. z = 4(x ² + y ²), y = 3 x, x =1, y ≥ 0, z ≥ 0

Задача 9. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Сделать чертёж области интегрирования

1. а) б)

2. а) б)

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. a) б)