Теорема.

Для кривой с уравнением (34) существует такой угол поворота осей системы координат, что в новой системе координат преобразованное уравнение (34) имеет вид, в котором отсутствует произведение новых координат, то есть .

♦ Предполагаем, что существует такой угол . Повернем на этот угол систему координат с помощью преобразования поворота на угол (выразим старые координаты через новые:

Подставим эти преобразования в квадратичную часть уравнения (34):

,

,

.

После подстановки и приведения подобных получаем:

,

,

,

.

Потребуем , то есть

(35)

(36)

Таким образом, доказано существование такого угла . ♦

СВОДКА ФОРМУЛ:

(34)

Вычисляем (если есть слагаемое с произведением координат):

, ( - угол поворота системы координат).

Возможный выбор знака:

Если , .

Если , .

,

,

.

Для проверки: (37)

,

Итак, после поворота на угол , определенного в уравнении (35), кривая II порядка принимает вид:

(38)

Выполнение преобразования переноса СК методом Лагранжа

Перенос системы координат при помощи процедуры выделения полного квадрата. Рассмотрим уравнение (38) при , то есть в уравнении присутствуют оба квадрата. Выпишем слагаемые, содержащие и и выделим полный квадрат по методу Лагранжа.

Аналогично, для :

Подставив в (37), получим:

,

(39)

где

или

– преобразование переноса на вектор ,

.

В новой системе координат центр кривой лежит в начале координат, поэтому потребуем

Координаты нового начала в старой системе координат: