Типы и виды кривых второго порядка

I тип

(39)

1) Если: и – все коэффициенты уравнения (39) имеют одинаковые знаки.

– мнимый эллипс, где

2) Если и – коэффициенты при квадратах в уравнении (39) имеют одинаковые знаки, но – противоположного знака.

– действительный эллипс, где

3) Если .

– пара мнимых пересекающихся прямых в действительном пространстве, где

4) Если .

или – пара действительных пересекающихся прямых.

5) Если – коэффициенты при квадратах имеют различные знаки.

– гипербола, где

II тип

6) или – присутствует только один квадрат, но в уравнении есть обе переменные и .

Пусть

.

(40)

Выделим полный квадрат

.

Подставим в (40):

Преобразование координат:

– уравнение параболы .

III тип

или – в уравнении после поворота осталась только одна переменная.

Пусть .

Выполним преобразования:

Преобразование переноса

7)

– пара мнимых параллельных прямых, где

8)

– пара действительных параллельных прямых, где

9)

– пара совпадающих прямых.

Показали, что существует всего 9 видов кривых второго порядка.

Теорема.

Уравнение вида может описать 9 различных видов кривых второго порядка:

1. мнимый эллипс;

2. действительный эллипс;

3. гипербола;

4. пара мнимых пересекающихся прямых;

5. пара действительных пересекающихся прямых;

6. парабола;

7. пара мнимых параллельных прямых;

8. пара действительных параллельных прямых;

9. пара совпадающих прямых.