Основы теории нечетких множеств

Значения лингвистической переменной (ЛП) определяются через так назы­ваемые нечеткие множества (НМ), которые в свою очередь определены на некотором базовом наборе значений или базовой числовой шкале, имеющей размерность. Каждое значение ЛП определяется как нечеткое множество (например, НМ " низкий рост").

Нечеткое множество определяется через некоторую базовую шкалу В и функцию принадлежности НМ — (х), х B Д принимающую значения на интервале [0; 1]. Таким образом, нечеткое множество B — это совокупность пар вида (х, (х)), где х В. Часто встречается и такая запись:

где х_i — i -е значение базовой шкалы.

Функция принадлежности определяет субъективную степень уверенности эксперта в том, что данное конкретное значение базовой шкалы соответст­вует определяемому НМ. Эту функцию не стоит путать с вероятностью, но­сящей объективный характер и подчиняющейся другим математическим зависимостям.

Например, для двух экспертов определение НМ " высокая" для ЛП " цена автомобиля" в условных единицах может существенно отличаться в зависи­мости от их социального и финансового положения.

" Высокая_цена_автомобиля_1" = {50000/1 + 25000/0.8 + 10000/0.6 + 5000/0.4}

" Высокая_цена_автомобиля_2" = {25000/1 + 10000/0.8 + 5000/0.7 + 3000/0.4}

Пусть перед нами стоит задача интерпретации значений ЛП " возраст", таких как " молодой" возраст, " преклонный" возраст или " переходный" возраст. Определим " возраст" как ЛП (рис. 1.8). Тогда " молодой", " преклонный", " переходный" будут значениями этой лингвистической переменной. Более полно, базовый набор значений ЛП " возраст" следующий:

В = {младенческий, детский, юный, молодой, зрелый, преклонный, старческий}.

Рис. 1.8. Лингвистическая переменная " возраст" и нечеткие множества, определяющие ее значения

Для ЛП " возраст" базовая шкала — это числовая шкала от 0 до 120, обозна­чающая количество прожитых лет, а функция принадлежности определяет, насколько мы уверены в том, что данное количество лет можно отнести к данной категории возраста. На рис. 1.9 отражено, как одни и те же значе­ния базовой шкалы могут участвовать в определении различных НМ.

Например, определить значение НМ " младенческий" можно так:

Рис. 1.10 иллюстрирует оценку НМ неким усредненным экспертом, который ребенка до полугода с высокой степенью уверенности относит к младенцам (μ = 1). Дети до четырех лет причисляются к младенцам тоже, но с меньшей степенью уверенности (0, 5 < μ < 0, 9), а в десять лет ребенка на­зывают так только в очень редких случаях — к примеру, для девяностолетней бабушки и 15 лет может считаться младенчеством. Таким образом, нечеткие множества позволяют при определении понятия учитывать субъективные мнения отдельных индивидуумов.