Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Числовые характеристики случайной величины






Основными числовыми характеристиками случайной величины X являются математическое ожидание , дисперсия D (X), среднее квадратическое отклонение .

Математическое ожидание случайной величины – это среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятностям.

Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле:

, так как , то есть .

Для непрерывной случайной величины:

.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, то есть

D (X)= .

Преобразуем это выражение, используя свойства математического ожидания, получим D (X) = , то есть дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата случайной величины без квадрата ее математического ожидания. Итак:

D (X) = – для дискретной случайной величины;

D (X) = – для непрерывной случайной величины;

D (X) = – для любой случайной величины.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют арифметическое значение квадратного корня из ее дисперсии, то есть

.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение характеризуют вариацию (колеблемость) значений случайной величины около ее среднего значения. Так, показывает, на сколько в среднем отклоняются значения случайной величины от ее математического ожидания.

Обобщением основных числовых характеристик случайной величины является понятие моментов случайной величины.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины : .

Начальный момент дискретной случайной величины: .

Начальный момент непрерывной случайной величины: .

Центральным моментом k-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины : .

Центральный момент дискретной случайной величины: .

Центральный момент непрерывной случайной вел-ны: .

Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание, а центральный момент второго порядка – дисперсию случайной величины.

Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой «скошенности» или асимметрии распределения (коэффициент асимметрии):

.

Нормированный центральный момент четвертого порядка служит характеристикой «островершинности» или «плосковершинности» распределения (коэффициент эксцесса):

.

Величины А и Е характеризуют степень отличия функции распределения от функции распределения стандартного нормального распределения, для которого коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю: . Левосторонняя асимметрия: , правосторонняя асимметрия: . Если , то кривая плотности распределения имеет более плоскую вершину, чем кривая плотности нормального распределения.

Введем понятие различных операций над случайными величинами.

Пусть имеются две случайные величины X и Y, заданные следующими законами распределения:

xi x 1 x 2 xi xn   yj y 1 y 2 yj yk  
pi p 1 p 2 рi pn ; p’j p’ 1 p’ 2 р’j p’k ;

причем

Случайной величиной называют такую случайную величину, возможные значения которой равны - й степени значений случайной величины X, а соответствующие вероятности не изменяются. Закон распределения случайной величины Z будет иметь вид:

 
pi p 1 p 2 рi pn ,

Суммой (разностью, произведением) случайных величин X и Y называют случайную величину Z, возможные значения которой равны соответственно сумме (разности, произведению) каждого значения случайной величины X с каждым значением случайной величины Y, а соответствующие вероятности перемножаются.

Например, закон распределения случайной величины Z = X + Y имеет вид:

zi  
;

причем

Пример 1. Случайная величина X имеет распределение:

xi            
pi 0, 1 0, 3 0, 3 0, 2 0, 1 .

Найти характеристики случайной величины.

Решение. Воспользуемся формулами для дискретной случайной величины.

Дисперсию случайной величины можно рассчитать и по формуле:

D (X) = .

D (X) = 4, 9 – (1, 9)2 = 4, 9 – 3, 61 = 1, 29.

Среднее квадратическое отклонение характеризует колеблемость значений случайной величины около математического ожидания. » 1, 14 означает, что каждое значение данной случайной величины отклоняется от математического ожидания (от среднего значения) в среднем на 1, 14.

Пример 2. Случайная величина X задана следующим распределением:

Найти характеристики случайной величины.

Решение. Воспользуемся формулами для непрерывной случайной величины.

= (16 – 1024/45 + 2048/225 – 32/3 + 1024/75–1024/225) = 44/225.

Проще вычислить дисперсию по формуле:

D (X) = .

D (X) = 4/3 – (16/15)2 = 44/225.

(каждое значение случайной величины отклоняется от математического ожидания в среднем на 0, 44).

Пример 3. Случайные величины X и Y заданы следующими распределениями:

xi               yj      
pi 0, 1 0, 5 0, 2 0, 2 ;     p j 0, 6 0, 4 .

Составить закон распределения случайной величины Z = XY.

На этом примере проверить справедливость свойства дисперсии разности двух независимых случайных величин.

Решение: 1) составим закон распределения случайной величины Z = XY.

zi 1 – 0 1 – 1 2 – 0 2 – 1 3 – 0 3 – 1 5 – 0 5 – 1  
pi × pj 0, 06 0, 04 0, 30 0, 20 0, 12 0, 08 0, 12 0, 08 ;

или:

zi              
0, 04 0, 26 0, 38 0, 12 0, 08 0, 12 .

2) найдем характеристики случайных величин X, Y, Z.

= 0, 1 + 1 + 0, 6 + 1 = 2, 7.

0, 1 + 2 + 1, 8 + 5 = 8, 9.

D (X) = = 8, 9 – (2, 7)2 = 1, 61.

то есть

Отсюда .


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.015 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал