![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Числовые характеристики случайной величины ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Основными числовыми характеристиками случайной величины X являются математическое ожидание Математическое ожидание случайной величины – это среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятностям. Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле:
Для непрерывной случайной величины:
Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, то есть D (X)= Преобразуем это выражение, используя свойства математического ожидания, получим D (X) = D (X) = D (X) = D (X) = Средним квадратическим отклонением случайной величины называют арифметическое значение квадратного корня из ее дисперсии, то есть
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение характеризуют вариацию (колеблемость) значений случайной величины около ее среднего значения. Так, Обобщением основных числовых характеристик случайной величины является понятие моментов случайной величины. Начальным моментом k-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины Начальный момент дискретной случайной величины: Начальный момент непрерывной случайной величины: Центральным моментом k-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины Центральный момент дискретной случайной величины: Центральный момент непрерывной случайной вел-ны: Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание, а центральный момент второго порядка – дисперсию случайной величины. Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой «скошенности» или асимметрии распределения (коэффициент асимметрии):
Нормированный центральный момент четвертого порядка служит характеристикой «островершинности» или «плосковершинности» распределения (коэффициент эксцесса):
Величины А и Е характеризуют степень отличия функции распределения Введем понятие различных операций над случайными величинами. Пусть имеются две случайные величины X и Y, заданные следующими законами распределения:
причем Случайной величиной
Суммой (разностью, произведением) случайных величин X и Y называют случайную величину Z, возможные значения которой равны соответственно сумме (разности, произведению) каждого значения случайной величины X с каждым значением случайной величины Y, а соответствующие вероятности перемножаются. Например, закон распределения случайной величины Z = X + Y имеет вид:
причем Пример 1. Случайная величина X имеет распределение:
Найти характеристики случайной величины. Решение. Воспользуемся формулами для дискретной случайной величины. Дисперсию случайной величины можно рассчитать и по формуле: D (X) = D (X) = 4, 9 – (1, 9)2 = 4, 9 – 3, 61 = 1, 29. Среднее квадратическое отклонение характеризует колеблемость значений случайной величины около математического ожидания. Пример 2. Случайная величина X задана следующим распределением: Найти характеристики случайной величины. Решение. Воспользуемся формулами для непрерывной случайной величины. = Проще вычислить дисперсию по формуле: D (X) = D (X) = 4/3 – (16/15)2 = 44/225.
Пример 3. Случайные величины X и Y заданы следующими распределениями:
Составить закон распределения случайной величины Z = X – Y. На этом примере проверить справедливость свойства дисперсии разности двух независимых случайных величин. Решение: 1) составим закон распределения случайной величины Z = X – Y.
или:
2) найдем характеристики случайных величин X, Y, Z. D (X) =
Отсюда
|