Выборочное среднее и стандартное отклонение

Само по себе определение этих параметров не является статистическим тестом, однако, оно может дать грубую оценку равномерности псевдослучайной последовательности. Каждый бит случайной последовательности можно рассматривать как реализацию случайного процесса, имеющего математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение . Для последовательности из N битов можно найти выборочное среднее и стандартное отклонение по формулам:

, (1)

Эти величины являются оценками математического ожидания и среднеквадратичного отклонения. При достаточном объёме выборки N величины (1) будут мало отличаться от теоретических значений (т.е. , ). Прежде всего, нас будет интересовать уклонение . Чтобы ответить на вопрос, можно ли пренебрегать этим различием, необходимо задать доверительный интервал d, который определяет максимально допустимое отклонение от M. Величина d вычисляется исходя из заданной доверительной вероятности β. Например, если β =95%, то в 95% случаев исследуемый отрезок из N битов истинно случайной последовательности будет удовлетворять неравенству . Однако в 5% случаев даже у истинно случайной последовательности выборочное среднее может выйти за границы доверительного интервала. Это может случиться из-за флуктуаций в двоичной последовательности, когда исследуемый отрезок из N битов может " показаться" неслучайным. Иными словами, при выполнении этого неравенства можно считать, что истинно случайная последовательность проходит данный тест с вероятностью 95%.

Для нахождения доверительного интервала d при заданной доверительной вероятности β используется формула:

(3)

где Φ – функция Лапласа (функция ошибок). Данная формула получена с учётом предположения, что распределено по нормальному закону, что хорошо выполняется на практике уже при N > 6. Значения функции для различных доверительных вероятностей β приведены в таблице. Из таблицы видно, что чем больше β, тем больше доверительный интервал. Снижение β приводит к ужесточению требований, которым даже истинно случайная последовательность будет не в силах удовлетворить в случаев.

0, 9	1, 643
0, 95	1, 960
0, 99	2, 576