Методом Эйлера

Решение дифференциального уравнения изогнутой оси консольной балки

методом Эйлера

Уравнения, содержащие одну или несколько производных называются дифференциальными. В зависимости от числа независимых переменных уравнения разбивают на два существенно различных класса: обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), содержащие одну независимую переменную и производные по ней, и дифференциальные уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и частные производные по ним. Ниже будут рассмотрены численные методы решения ОДУ.

Для численного решения ОДУ необходимо знать дополнительные условия - значения зависимой переменной (функции) или её производных при некоторых значениях независимой переменной (аргумента). В зависимости от того, как заданы эти условия, выделяют 2 типа задач:

1. Задача Коши. Все условия заданы в одной, начальной точке, поэтому условия называются начальными;

2. Краевая задача. Условия заданы в более чем одной точке. Условия в этом случае называются граничными.

Задача решения ОДУ 1-го порядка (задача Коши) формулируется следующим образом:

найти y = y(x), удовлетворяющую уравнению

y'= f(x, y) (3.1)

для x Î [a, b] при заданном начальном условии y(a) = y₀.

Рассмотрим решение этой задачи методом Эйлера. Разобьем интервал [a, b] на n равных отрезков, точки x₀, x₁, …, x_n будем называть узлами сетки, параметр h = (b-a)/n – шагом сетки.

Очевидно, что , ; , .

Заменим производную y' в точке x_i приближенной оценкой – отношением приращений (это следует из определения производной): .

Тогда получаем: .

Отсюда формула Эйлера: , (3.2)

, – номер узла сетки.

Формулу (3.1) можно получить, используя разложение функции в ряд Тейлора в

окрестности х: .

Если h мало, то члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, являются малыми более высоких порядков и ими можно пренебречь.

Тогда , при этом на каждом шаге накапливается погрешность, которая имеет порядок .

находим из исходного дифференциального уравнения (3.1), подставив в

него начальное условие. Зная y₀ в точке x₀ (начальное условие) по формуле (3.2) можно найти y₁, затем, используя уже известные значения x₁ и y₁, вычислить x₂ и y₂ и так далее.

Этот процесс можно продолжить, делая сколь угодно много шагов.

Метод Эйлера можно использовать для решения систем дифференциальных уравнений (ДУ) и, следовательно, для решения уравнений второго и более высоких порядков, т.к. любое ДУ n-го порядка можно свести к системе n уравнений первого порядка [3, стр.79].

Например, перемещение (прогиб) балки z(x) в любом сечении по её длине можно определить, используя дифференциальное уравнение упругой линии балки

[9, стр.143].

Это уравнение второго порядка можно свести к системе двух уравнений первого порядка, заменив вторую производную прогиба z на первую производную угла поворота сечения :

.

Задача Коши в этом случае содержит два начальных условия:

.

Контрольные вопросы.

1. Какие типы приближенных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений Вы знаете?

2. В чем суть разложения функции в окрестности точки в ряд Тейлора?

3. В чем суть метода Эйлера? Поясните графически.

4. Какова общая схема численных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка?

5. Каков порядок точности при решении дифференциальных уравнений методами Эйлера, Рунге-Кутта?

6. Каким образом на практике следят за точностью при решении дифференциальных уравнений методами Рунге-Кутта?

7. Приведите примеры задач с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Чем отличаются формулировки задачи Коши и краевой задачи?

8. Назовите основные различия, достоинства и недостатки одношаговых и многошаговых методов решения задачи Коши.

9. Опишите решение задачи Коши методом Эйлера.

10. Опишите решение задачи Коши модифицированным методом Эйлера.

11. Опишите решение задачи Коши методом Рунге-Кутта.

12. Что такое порядок точности метода и как он связан с его эффективностью? Приведите примеры методов разных порядков.

13. Как влияет размер шага при решении задачи Коши на погрешность результата? Как работает процедура автоматического выбора шага?

14. Составьте алгоритм решения задачи Коши для системы двух уравнений первого порядка методом Эйлера.

15. Опишите процедуру решения задачи Коши для уравнения второго порядка одношаговым методом.

16. Поясните понятие устойчивости решения задачи Коши.

17. Расскажите об особенностях представления чисел в ЭВМ.

18. Опишите источники погрешностей при решении задач на ЭВМ