Задание 11. 11.1. Требуется, введя нужные предикаты, записать формулами исчисления предикатов математические утверждения: а)

11.1. Требуется, введя нужные предикаты, записать формулами исчисления предикатов математические утверждения: а) , б) . Кроме того, в пункте б) требуется полученную формулу привести к приведённой нормальной форме. Записать словесное выражение для обеих формул.

Решение: а) Пусть f(x) - произвольная фиксированная функция, и пусть . Рассмотрим следующие предикаты: Р (х, d): | х - а |< d, Q (x, e): | f(x) - A | < e, R (e): e > 0.

Тогда утверждение о том, что число А - предел функции f(x) при х ® а, записывается формулой:

(" e)($ d)(" х)((R (e) × Р (х, d)) Þ Q (х, e)). (1)

б) Выражение ¹ А является отрицанием формулы (1), т. е. может быть записано в виде

ù ((" e)($ d)(" х)((R (e) × Р (х, d)) Þ Q (х, e))). (2)

Получим приведённую нормальную формулу, равносильную (2). Проводя отрицание через кванторы, получим:

($ e)(" d)($ х)ù ((R (e) × Р (х, d)) Þ Q (х, e))).

Выражая импликацию через дизъюнкцию и отрицание, получим:

($ e)(" d)($ х)ù (ù (R (e) × Р (х, d)) Ú Q (х, e))).

Применяя правило де Моргана, окончательно получим:

($ e)(" d)($ х)(R (e) × Р (х, d) × ù Q (х, e)). (3)

Это и есть приведённая нормальная формула для формулы (2).

Словесное выражение формулы (3) таково: ¹ А означает, что существует такое e > 0, что для любого d > 0 существует х из области | х - а |< d, для которого | f(x) - A | ³ e.