Пример 1.

На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих варианту 100, требуется:

1. Построить уравнение линейной парной регрессии одного при­знака от другого. Один из признаков, соответствующих Ваше­му варианту, будет играть роль факторного , другой - ре­зультативного . Причинно-следственные связи между при­знаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и ко­эффициент детерминации. Сделать выводы.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и коэффициента корреляции с уровнем значимости 0, 05.

4. Выполнить прогноз ожидаемого значения признака-результата Yпри прогнозном значении признака-фактора X, составляющим 105% от среднего уровня X. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0, 95.

Решение:

В качестве признака-фактора в данном случае выберем курсовую цену акций, так как от прибыльности акций зависит величина начисленных дивидендов. Таким образом, результативным будет признак дивиденды, начисленные по результатам деятельности.

Для облегчения расчетов построим расчетную таблицу, которая заполняется по ходу решения задачи. (Таблица 1)

Для наглядности зависимости Yот X представим графически. (Рисунок 2)

Таблица 1 - Расчетная таблица

1. Построим уравнение регрессии вида: .

Для этого необходимо определить параметры уравнения и .

Определим ,

где - среднее из значений , возведенных в квадрат;

- среднее значение в квадрате.

Определим параметр а₀:

Получим уравнение регрессии следующего вида:

Параметр показывает, сколько составили бы дивиденды, начисленные по результатам деятельности при отсутствии влияния со стороны курсовой цены акций. На основе параметра можно сделать вывод, что при изменении курсовой цены акций на 1 руб. произойдет изменение дивидендов в ту же сторону на 0, 01 млн. руб.

2. Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент детерминации.

Линейный коэффициент парной корреляции определим по формуле:

,

Определим и :

Тогда

Коэффициент корреляции, равный 0, 708, позволяет судить о тесной связи между результативным и факторным признаками .

Коэффициент детерминации равен квадрату линейного коэффициента корреляции:

Коэффициент детерминации показывает, что на вариации начисленных дивидендов зависит от вариации курсовой цены акций, и на - от остальных неучтенных в модели факторов.

3. Оценим значимость параметров уравнения регрессии и линейного коэффициента корреляции по t- критерию Стьюдента. Необходимо сравнить расчетные значения t- критерия для каждого параметра и сравнить его с табличным.

Для расчета фактических значений t -критерия определим :

Тогда

Далее определим _. при уровне значимости и числе степеней свободы равном :

Сравним и с : , следовательно, оба параметра уравнения регрессии признаются значимыми.

Проверим значимость линейного коэффициента корреляции:

Сравниваем с уже известным нам значением , следовательно, линейный коэффициент корреляции существенен.

4. Выполним прогноз ожидаемого значения признака-результата Yпри прогнозном значении признака-фактора X, составляющим от среднего уровня X.

Точечный прогноз рассчитывается по линейному уравнению регрессии:

,

В нашем случае

Тогда

Оценим ошибку прогноза:

После этого определим интервал, к которому с вероятностью 0, 95 принадлежит прогнозное значение признака Y:

,

где – табличное значение t -критерия при и числе степеней свободы .

В данном случае интервал будет такой:

То есть, с вероятностью 0, 95 прогнозируемая величина дивидендов при курсовой стоимости акций равной 101, 43 руб. будет принадлежать интервалу от 19, 772 до 20, 664 млн. руб.

При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) зна­чение F-критерия:

,

где n -число наблюдений; k - число независимых переменных модели.

По таблицам распределения Фишера находят критическое значение F -критерия . Для этого за­даются уровнем значимости (обычно его берут равным 0, 05) и двумя числами степеней свободы и . Здесь m – число параметров модели.

Сравнивают фактическое значение F -критерия с табличным . Если , то ги­потезу о незначимости уравнения регрессии не отвергают. Если , то выдвинутую гипотезу отвер­гают и принимают альтернативную гипотезу о статистиче­ской значимости уравнения регрессии.