Решая линейную систему (2.3) с помощью замены

получаем оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели в виде:

; . (2.4)

Рассчитанные таким образом коэффициенты регрессии , принято называть оценками МНК (метода наименьших квадратов).

3. Прежде, чем построенное уравнение регрессии использовать в аналитических целях, оценивается его качество с помощью системы показателей: коэффициента корреляции, дисперсионного отношения Фишера, критерия Стьюдента.

Коэффициент корреляции показывает тесноту линейной связи между моделируемым показателем и фактором и рассчитывается по формуле

, (3.1)

где

; .

Значение коэффициента корреляции заключены между -1 и 1. При =1 между показателем и фактором существует функциональная зависимость, при =0 между показателем и фактором нет линейной связи, при имеет место корреляционная связь.

Квадрат коэффициента корреляции, умноженный на 100 (), называют коэффициентом детерминации. Он показывает, насколько процентов вариация зависимой переменной y объясняется соответствующими изменениями независимой переменной x.

С помощью F -критерия (дисперсионного отношения Фишера) устанавливается адекватность регрессионной модели. Его расчет осуществляется по формуле

, (3.2)

где

n – число элементов выборочной совокупности;

m – число факторов.

В числители критерия (3.2) стоит сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»), деленная на число степеней свободы m, а в знаменателе – остаточная сумма квадратов отклонений, деленная на (n-m -1) (остаточная дисперсия).

Если , то построенная модель считается адекватной. - это максимально возможное значение дисперсионного отношения Фишера при данных степенях свободы и уровне значимости . Обычно принимается равным 0, 05 или 0, 01 и представляет собой вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии того, что она верна. Фактически, с помощью F -критерия проверяется - гипотеза о том, что =0.

Статистическая значимость каждого коэффициента регрессии в отдельности устанавливается с помощью t -критерия Стьюдента, рассчитываемого по формулам

; . (3.3)

Стандартные ошибки параметров линейной регрессии определяются по формулам

;

(3.4)

.

Кроме критерия Стьюдента, стандартные ошибки используются при расчете предельных ошибок

; , (3.5)

которые, в свою очередь, применяются для определения доверительных интервалов.

; . (3.6)

Если границы доверительного интервала содержат 0, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя – положительна, то оцениваемый параметр считается незначимым.

4. В случае, когда линейная модель неадекватна, строятся нелинейные регрессионные модели. Нелинейные модели принято делить на два класса: регрессии нелинейные относительно объясняющей переменной, но линейные по оцениваемым параметрам и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Нелинейные по объясняющей переменной:

· парабола ;

· полином третьей степени ;

· равносторонняя гипербола .

Нелинейные по оцениваемым параметрам:

· показательная ;

· степенная ;

· экспоненциальная .

Коэффициенты моделей первого класса рассчитываются с помощью метода наименьших квадратов. Построение моделей второго класса требует предварительного их приведения к линейному виду путем логарифмирования.

;

;

.

После построения с помощью метода наименьших квадратов преобразованных моделей коэффициенты исходных моделей в случае необходимости получаются путем потенцирования.

Теснота связи между фактором и показателем в нелинейных моделях измеряется с помощью индекса корреляции

, (4.1)

границы изменения которого 0 и 1. Чем ближе значение индекса корреляции к 1, тем теснее связь.

Адекватность нелинейных моделей, как и в линейном случае, определяется с помощью дисперсионного отношения Фишера (F -критерия).

5. Если построенная модель адекватна, то становится правомерным ее практическое использование в аналитических целях. Практическое использование требует содержательной интерпретации результатов эконометрического моделирования.

Коэффициент линейной модели является коэффициентом абсолютного роста. Он показывает на сколько единиц изменится показатель y, если фактор x изменится на 1.

В показательной модели является коэффициентом относительного роста. Он показывает во сколько раз изменится y, если x изменится на 1.

В степенной модели является коэффициентом эластичности. Он показывает на сколько % изменится y, x изменится на 1 %.