Модуль 3 Математическая статистика

(Цылова Е. Г., Кротова Е. Л.ПГТУ, 2007)

11.21. Даны 5 наблюдений над случайной величиной скорости автомобилей на одном из участков шоссе (км/ч): . Требуется построить доверительный интервал для математического ожидания при , когда дисперсия - неизвестна. Как изменится доверительный интервал, если при тех же значениях средней скорости и выборочной дисперсии число наблюдений возрастет в 10 раз?

Решение. Из условия известно, что . По имеющимся данным вычислим:

По таблице 4 приложения находим, что при и . Вычислим доверительный интервал:

;

Получили доверительный интервал для скорости, которую можно ожидать на данном участке шоссе.

Если число наблюдений возрастет в 10 раз (), вновь воспользуемся той же формулой для построения интервала. По таблице 4 приложения находим, что . Тогда

;

.

11.22 Социологические обследования дали следующие результаты. Из 1000 опрошенных людей 849 никогда не обращались за юридической консультацией, из них 649 занимаются предпринимательской деятельностью, а 200 работают на государственных предприятиях. И из 151 обращавшегося респондента 101 человек занимался предпринимательской деятельностью, а 50 – нет. По имеющимся данным: 1) построить таблицу сопряженности; 2) оценить условные и безусловные вероятности признаков; 3) оценить тесноту связи между признаками; 4) при уровне значимости проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков; 5) изменится ли характер зависимости, если все данные увеличить в 25 раз?

Решение. 1. Пусть признак A – человек занимается предпринимательской деятельностью; признак B – человек обращался за юридической консультацией. Тогда, согласно условию: и таблица сопряженности имеет вид

Признаки			Всего
Всего

2. Вычислим оценки условных и безусловных вероятностей.

3. Тесноту связи между признаками оценим, вычислив эмпирический коэффициент корреляции событий

.

Так как полученное значение коэффициента мало, можно предположить, что зависимость между A и B практически отсутствует.

4. Найдем значение статистики

Из таблицы 3 приложения нашли при . Учитывая, что нулевая гипотеза принимается и делается вывод – обращение за юридической консультацией не зависит от того занимается ли человек своим бизнесом или работает на государственном предприятии.

.

5. При увеличении данных в 25 раз опять подсчитаем статистику

Следовательно, нулевая гипотеза отвергается, что говорит о наличии связи между признаками, оценим тесноту связи:

,

Теснота связи между A и B остается прежней, ее значения не зависят от числа наблюдений.

11.23 Случайная величина - число лет, которые служащие проработали в торговой компании; - сколько отпусков за это время они брали в этой компании. Результаты наблюдений над случайными величинами и : приведены в следующей таблице:

Построить уравнения прямых регрессий по и по . Найти выборочный коэффициент линейной корреляции .

Решение. Из условия находим:

;

;

Воспользовавшись предложенными формулами, вычислим коэффициенты прямых регрессий по и по .

И по формулам построим уравнения прямых регрессий и выборочный коэффициент линейной корреляции.

;

.

11.24 При обработке наблюдений из 900 торговых точек за количеством проданных шампуней и соответствующих им лечебных бальзамов был найден выборочный коэффициент линейной корреляции . По имеющимся данным построить доверительный интервал для коэффициента линейной корреляции с доверительной вероятностью .

Решение. По таблице приложения 2 находим для соответствующее значение . Согласно формуле доверительный интервал выглядит следующим образом:

Следовательно, при заданной доверительной вероятности истинное значение может варьировать в пределах от 0, 777 до 0, 823 и зависимость между случайными величинами и сильная.

11.25 По выборке найден выборочный коэффициент линейной корреляции . При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента линейной корреляции против .

Решение. Известно, что , . Вычислим статистику :

.

Из таблицы приложения 4 находим, что при , значение критической точки распределения Стьюдента . Поскольку 4, 78> 1, 9799, то есть , то нулевая гипотеза отвергается, величины и зависимы, поскольку .

11.26. Даны выборочные варианты х₁ и соответствующие им частоты n_i количественного признака Х. а) найти выборочные среднюю дисперсию и среднеквадратическое отклонение. б) Считая, что количественный признак Х распределен по нормальному закону и что выборочная дисперсия равна генеральной дисперсии, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью γ =0, 99

Р ешение

1. Объем выборки

n=

Средняя выборочная:

=

Выборочная дисперсия:

D_в= ² – ², где =23, 76

Средняя выборочная квадратов значений признака γ

=

Тогда D_в=598, 87-(23, 76)²=34, 33

Среднее квадратичное отклонение:

σ _в= σ _в= 5, 86

пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен по нормальному закону, причем среднеквадратическое значение отклонение «σ» этого распределения известно. Тогда с вероятностью γ доверительный интервал заданный формулой

; ),

покрывает неизвестное математическое ожидание. Здесь число t находится из соотношения 2Ф(t)=γ с помощью таблицы интегральной функции Лапласса.

В данной задаче γ =0, 99, поэтому 2Ф(t)=0, 99, а Ф(t)=0, 495, по таблице находим t=2, 58.

По условию задачи дисперсия генеральной совокупности D=D_в и, следовательно, σ =σ _в=5, 86. ранее найдены значения n=118, и Х_в=23, 76. Поэтому можно найти доверительный интервал:

(23, 76-1, 39; 23, 76+1, 39)

(22, 37; 25, 15).

Ответ: Х_в=23, 76; D_в=34, 33; σ _в=5, 86; а (22, 37; 25, 15).

11.27. По данным корреляционной таблицы найти условные средние Y_x и X_y. Оценить тесноту линейной связи между признаками X и Y и составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y. Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

Найдем условные средние воспользовавшись формулами:

Ү _x= X_y=

Y_x=5= X_y=35=

Y_x=10= X_y=45=

Y_x=15= X_y=55=

Y_x=20= X_y=65=

Y_x=25 X_y=75=

Y_x=30

Оценка тесноты линейной связи между признаками X и Y производится с помощью коэффициента линейной корреляции r:

Коэффициент r может принимать значения от -1 до +1.

Знак r указывает на вид связи: прямая или обратная. Абсолютная величина |r| на тесноту связи. При r> 0 связь прямая, то есть с ростом х растет у.

При r< 0 связь обратная, то есть с ростом х убывает у.

Для нахождения rвычислим указанные общие средние: х, у, ху, а также средние квадратические отклонения σ _х и σ _у. Вычисления удобно поместить в таблицах, куда вписываем также найденные ранее условные средние.

Значение коэффициента линейной корреляции

Х	nx	x*nx	x2*nx	yx	x*nx*yx
				42.14	2949.8
				57.8
				66.05	31373.75
				-	115765.55

Y	ny	y*ny	y2*ny	xy	y*ny*xy
				6.67	1400.7
				11.875
				21.47	23724.35
				24.64
				-	115772.05

С помощью таблиц находим общие средние, средние квадратов, среднюю произведения и среднеквадратические отклонения:

Х=

X²= 5

XY=

Y= 57.5

Y²=

σ _x= = =

σ _y= = =9.94

Отсюда коэффициент корреляции равен:

r=

т.к r > 0, то связь прямая, то есть с ростом Х растет Y.

т.к | r | > 0, 78 то линейная связь высокая.

Находим линейное уравнение регрессии Y по X:

Y_x-57.5=0.78*

Y_x=1.52x+27.94

Аналогично находим уравнение регрессии X поY:

X_y-19.45=0.78*

X_y=0.4y-3.55

Данные уравнения устанавливают связь между признаками X и Y и позволяют найти среднее значение признака Y_x для каждого значения x и аналогично среднее значение признака X_y для каждого значения y.

Изобразим полученные результаты графически.

Нанесем на график точки (х; у_х) отметив их звездочками(). Нанесем на график точки (х_у; у) отметив их кружочками (). Построим каждое из найденных уравнений регрессии по двум точкам:

Y_x=1.52x+27.94

X_y=0.4y-3.55

Обе прямые регрессии пересекаются в точке (х; у). В нашей задаче это точки (19, 45; 57, 5).

Оценка тесноты любой связи между признаками производится с помощью корреляционных отношений Y по X и X по Y:

η _ух=

Дисперсия называемые внутригрупповыми, определены ранее.

Величины называются межгрупповыми дисперсиями и вычисляются по формулам:

Они характеризуют разброс условных средних, от общей средней. В данной задаче:

б_х=

б_у=

Тогда корреляционные отношения равны:

η _ух=

η _ху=

Ответ: Корреляционная связь между признаками высокая ее можно описать уравнениями:

Y_x=1.52x+27.94,

X_y=0.4y-3.55.