История. Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера.

Формула Эйлера

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера.

	Леонард Эйлер (1707-1783) — математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец.   В 1726 году Леонард Эйлер был приглашен в Петербургскую АН и переехал в 1727 в Россию. Был адъюнктом (1726), а в 1731-41 и с 1766 академиком Петербургской АН (в 1742-66 иностранный почетный член). В 1741-66 работал в Берлине, член Берлинской АН.
	Геометрический смысл формулы Эйлера Формула Эйлера связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями или ln(cos x + i sin x)=ix где e — основание натурального логарифма, i — мнимая единица.

История

Формула Эйлера впервые была приведена в книге «Гармония мер» английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона), которая была издана в 1722 году, уже после смерти автора. Котс открыл формулу около 1714 года и выразил её в логарифмической форме:

.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции sin и cos следующим образом:

,

.

Известное тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант:

e^{i π} + 1 = 0

является частным случаем формулы Эйлера при x = π.

Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе DFT, Discrete Fourier Transform) —широко применяемое в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций).

Прямое преобразование:

Обратное преобразование:

Обозначения:

· — количество значений сигнала, измеренных за период, а также количество компонент разложения;

· — измеренные значения сигнала (в дискретных временных точках с номерами , которые являются входными данными для прямого преобразования и выходными для обратного;

· — комплексных амплитуд синусоидальных сигналов, слагающих исходный сигнал; являются выходными данными для прямого преобразования и входными для обратного; поскольку амплитуды комплексные, то по ним можно вычислить одновременно и амплитуду, и фазу;

· — обычная (вещественная) амплитуда k-го синусоидального сигнала;

· — фаза k-го синусоидального сигнала (аргумент комплексного числа);

· — индекс частоты. Частота k-го сигнала равна , где — период времени, в течение которого брались входные данные.

Из последнего видно, что преобразование раскладывает сигнал на синусоидальные составляющие (которые называются гармониками) с частотами от N колебаний за период до одного колебания за период. Поскольку частота дискретизации сама по себе равна N отсчётов за период, то высокочастотные составляющие не могут быть корректно отображены — возникает муаровый эффект. Это приводит к тому, что вторая половина из N комплексных амплитуд, фактически, является зеркальным отображением первой и не несёт дополнительной информации.