Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
История. Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера.
Формула Эйлера Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера.
История Формула Эйлера впервые была приведена в книге «Гармония мер» английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона), которая была издана в 1722 году, уже после смерти автора. Котс открыл формулу около 1714 года и выразил её в логарифмической форме: . При помощи формулы Эйлера можно определить функции sin и cos следующим образом: , . Известное тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант: ei π + 1 = 0 является частным случаем формулы Эйлера при x = π.
Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе DFT, Discrete Fourier Transform) —широко применяемое в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций).
Прямое преобразование: Обратное преобразование: Обозначения: · — количество значений сигнала, измеренных за период, а также количество компонент разложения; · — измеренные значения сигнала (в дискретных временных точках с номерами , которые являются входными данными для прямого преобразования и выходными для обратного; · — комплексных амплитуд синусоидальных сигналов, слагающих исходный сигнал; являются выходными данными для прямого преобразования и входными для обратного; поскольку амплитуды комплексные, то по ним можно вычислить одновременно и амплитуду, и фазу; · — обычная (вещественная) амплитуда k-го синусоидального сигнала; · — фаза k-го синусоидального сигнала (аргумент комплексного числа); · — индекс частоты. Частота k-го сигнала равна , где — период времени, в течение которого брались входные данные. Из последнего видно, что преобразование раскладывает сигнал на синусоидальные составляющие (которые называются гармониками) с частотами от N колебаний за период до одного колебания за период. Поскольку частота дискретизации сама по себе равна N отсчётов за период, то высокочастотные составляющие не могут быть корректно отображены — возникает муаровый эффект. Это приводит к тому, что вторая половина из N комплексных амплитуд, фактически, является зеркальным отображением первой и не несёт дополнительной информации.
|