Матричная запись квадратичной формы

Матрица

называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если

Главные миноры матрицы A называются главными минорами квадратичной формы.

В пространстве квадратичную форму можно записать в виде где X - координатный столбец вектора

В пространстве квадратичную форму можно представить в виде где f - линейный самосопряженный оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе равна A.

Квадратичная форма от переменных будет вполне определена, если заданы ее коэффициенты , которые составляют матрицу . Матрица называется матрицей квадратичной формы. Она всегда является симметричной. Переменные могут быть выражены через другие переменные . Тогда первый набор называется старыми, а второй - новыми переменными. Если эти наборы связаны формулами

(2)

То будем говорить, что задано линейное преобразование переменных с матрицей

(3)

Преобразования, для которых , называется невырожденным. Известно, что квадратичная форма от переменных с матрицей при линейном преобразовании (2) с матрицей преобразуется в квадратичную форму от новых переменных с матрицей , где

(4)