Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса
Теорема 5.2. Пусть в линейном пространстве заданы два базиса: (5.6) и , (5.7) и пусть и – матрицы билинейной формы в базисах (5.6) и (5.7) соответственно. Тогда , (5.8) где Т – матрица перехода от (5.6) к (5.7). ► Воспользуемся определением билинейной формы и ее матрицы, а также определением матрицы перехода: . (5.9) Заметим, что в правой части равенства (5.9) индекс должен соответствовать номеру строки, а индекс – номеру столбца (по согласованию с левой частью), поэтому из (5.9) и вытекает равенство (5.8).◄ Следствие. Если матрица билинейной формы в одном из базисов пространства невырождена, то в любом другом базисе матрица этой билинейной формы также невырождена. Определение. Билинейная форма на линейном пространстве называется невырожденной, если ее матрица в некотором, а значит, и в любом базисе пространства невырождена. Определение. Квадратные матрицы и называются конгруэнтными, если они связаны соотношением (5.8), где – невырожденная матрица. Таким образом, матрицы одной и той же билинейной формы в различных базисах конгруэнтны.
|