![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Нормальна форма ЖорданаСтр 1 из 2Следующая ⇒
Нормальні форми матриці
Як відомо, до діагонального вигляду зводиться матриця не кожного лінійного перетворення. Тому виникає питання про інший канонічний вигляд, до якого можна звести матрицю довільного лінійного перетворення. В алгебраїчно замкненому полі, в тому числі і комплексному просторі, канонічним виглядом довільної матриці є так звана жорданова нормальна форма матриці. Розглянемо її. Жордановою кліткою називається квадратна матриця вигляду
в якій на головній діагоналі знаходиться одне і те ж число Наприклад: Легко видно, що характеристичний многочлен | Жордановою матрицею називається матриця вигляду
де Діагональні матриці є частинним випадком жорданових матриць (у них жорданові клітки мають порядок 1). Квадратні матриці порядку
Канонічною 1) ця матриця є діагональною, тобто має вигляд 2) всякий многочлен еі(λ) націло ділиться на многочлен еі-1(λ); 3) кожний многочлен еі(λ) є зведеним. Теорема 1. Будь-яка Доведення. Нехай задана довільна d1( Якщо матриця А( dк( Отже, всім Якщо, далі, ми беремо в канонічній матриці мінор k -го порядку, який знаходиться в рядках з номерами i1, i2,... ik (де i1 ‹ i2 ‹…‹ ik) і в стовпчиках з тими ж номерами, то цей мінор дорівнює добутку Нарешті, якщо в канонічній матриці взято мінор k -го порядку, в якому номери рядків і стовпчиків не співпадають, то цей мінор містить нульовий рядок і тому дорівнює нулю. У підсумку випливає, що добуток (2) і буде НСД всіх мінорів k -го порядку канонічної матриці, а, значить, і вихідної матриці А( dk(λ) = е1(λ) е2(λ) ···ек(λ), k=1, 2, n. (3). Ясно, що dk-1(λ) = е1(λ) е2(λ) ···ек-1(λ). Із єдиності набору многочленів (1) випливає однозначність визначення многочленів еk(λ). Нехай ранг матриці А( еr+1 (λ) = 0. (із 3). Звідси, якщо r ‹ n, то еr+1 (λ) = еn (λ) = 0, З другого боку, якщо k ≤ r, то Ми отримали спосіб безпосереднього знаходження многочленів еk(λ), які називаються інваріантними множниками матриці А( Мінімальним многочленом матриці називається зведений незвідний многочлен, для якого ця матриця є коренем. Знайдемо канонічний вигляд для характеристичної матриці Нехай Обчислюючи визначник цієї матриці і пам’ятаючи, що старший коефіцієнт многочлена
Теорема 2. Якщо многочлени
Доведення: Скористаємось методом математичної індукції. Ясно, що достатньо розглянути випадок Оскільки многочлени
що й треба довести.▲ Розглянемо тепер характеристичну матрицю
для жорданової матриці Нехай жорданові клітки матриці Нехай до числа Застосовуючи елементарні перетворення до тих рядків і стовпців матриці, які проходять через клітку
Ми не вказуємо, на яких місцях на діагоналі знаходяться ці многочлени, бо в будь-якій діагональній матриці діагональні елементи можна довільно переставляти з допомогою перестановок рядків і однойменних стовпців. Нехай
Якщо при цьому в
Це і буде шуканий канонічний вигляд характеристичної матриці
Приклад: Знайти канонічний вигляд характеристичної до матриці J. Нехай Для цієї жорданової матриці 9-го порядку таблиця многочленів має вигляд:
Тому інваріантними множниками матриці Шуканий канонічний вигляд Із означення подібності матриць і з побудови канонічного вигляду характеристичної до жорданової матриці Із цього твердження випливає: 1) жорданова нормальна форма визначається для матриці 2) жорданова матриця, подібна до діагональної матриці, сама діагональна; 3) дві діагональні матриці подібні тоді і тільки тоді, якщо вони отримуються одна з одної перестановкою чисел, які знаходяться на головній діагоналі. Необхідна і достатня умова зведення матриць до жорданової нормальної форми Теорема 3. Кожна квадратна матриця Доведення:
|