Практическое занятие.

Тема. Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду методом Лагранжа. Положительно и отрицательно определённые квадратичные формы. Критерии знакоопределённости квадратичных форм.

Квадратичной формой (кратко ) от -переменных называется однородный многочлен второй степени: , где . Квадратичную форму всегда можно записать в матричном виде: , где - матрица квадратичной формы (являющаяся симметрической, так как выполняется условие ), - матрица-столбец, - матрица-строка, составленные из переменных .

Квадратичная форма называется невырожденной, если её матрица - невырожденная. Квадратичная форма называется канонической, если она имеет вид: .

Всякую квадратичную форму всегда можно привести к канонической, например, методами Лагранжа и ортогональных преобразований.

Метод Лагранжа состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Если в квадратичной форме все коэффициенты (), а коэффициент (), то, до выделения полных квадратов, в квадратичной форме следует перейти к новым переменным по формулам: .

Метод ортогональных преобразований состоит в приведении формы к каноническому виду , где - собственные числа матрицы квадратичной формы. Такое приведение осуществляется с помощью ортогонального преобразования , где - ортогональная матрица, столбцами которой служат ортонормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы; - матрицы-столбцы переменных квадратичной формы.

Квадратичные формы подразделяют на различные типы в зависимости от множества их значений. Квадратичная форма называется: положительно (отрицательно) определённой, если для любого выполняется неравенство (); неотрицательно (неположительно) определённой, если для любого выполняется неравенство (), причём существует , для которого ; знакопеременной (или неопределённой), если существуют такие и , что и .

Невырожденная квадратичная форма может быть либо положительно определённой, либо отрицательно определённой, либо знакопеременной. Тип невырожденной квадратичной формы можно определить, проверяя знаки главных миноров матрицы квадратичной формы. Пусть , где - матрица квадратичной формы. Главными минорами матрицы называются миноры порядка (), составленные из первых строк и первых столбцов матрицы: , , …, .

Одним из критериев знакоопределённости невырожденной квадратичной формы является критерий Сильвестра:

- квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы положительны, т.е. , , , ;

- квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда для всех главных миноров её матрицы выполняются неравенства: , , , , (все миноры нечётного порядка отрицательны, а чётного – положительны);

- квадратичная форма знакопеременна тогда и только тогда, когда для главных миноров её матрицы выполняется хотя бы одно из условий: один из главных миноров равен нулю, один из главных миноров чётного порядка отрицателен, два главных минора нечётного порядка имеют разные знаки.

1.167 Записать матрицу следующих квадратичных форм:

а) ; б) ;

в) ; г) .

В задачах 1.168-1.173 методом Лагранжа найти: а) канонический вид квадратичной формы; б) невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду.

1.168. 1.169.

1.170. 1.171.

1.172. 1.173.

В задачах 1.174-1.179 найти канонический вид квадратичной формы согласно метода ортогональных преобразований.

1.174. 1.175.

1.176. 1.177.

1.178. 1.179.

В задачах 1.180-1.185 определить, используя критерий Сильвестра, какие квадратичные формы являются либо положительно, либо отрицательно определенными, а какие нет.

1.180. 1.181.

1.182. 1.183.

1.184. 1.185.

1.186 Найти, используя критерий Сильвестра, все значения параметра , при которых квадратичная форма является положительно определенной:

а) ; б) ;

В); г).

1.187 Найти, используя критерий Сильвестра, все значения параметра , при которых квадратичная форма является отрицательно определенной:

а) ; б) ;

В); г).

Ответы: 1.167а) б) в) г)

1.168 а) , б) 1.169 а) , б)

1.170 а) , б) 1.171 а) , б)

1.172 а) , б) 1.173 а) , б)

1.174. 1.175. 1.176. 1.177.

Положительноопределенная.1.181Отрицательно определённая. 1.182Общего вида. 1.183Отрицательно определенная. 1.184Положительно определенная. 1.185Положительно определённая. 1.186 а); б); в); г)таких не существует. 1.187 а)Такихне существует; б); в); г).