Определение скоростей и ускорений точек тела при плоском движении

Расчетно-графическая работа №2

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е (рис. К3.0 – К3.7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис. К3.8, К3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁, О₂ шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно l ₁ =0, 4 м, l ₂ =1, 2 м, l ₃ =1, 4 м, l ₄ =0, 6 м. Положение механизма определяется углами . Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К3а (для рис. К3.0 – К3.4) или в табл. К3б (для рис. К3.5 – К3.9); при этом в табл. К3а – величины постоянные.

Определить величины, указанные в таблицах в графах «Найти».

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол на рис. К3.8 следует отложить от DB против хода часовой стрелки, а на рис. К3.9 – по ходу часовой стрелки и т.д.).

Построение чертежа следует начинать со стержня, направление которого определяется углом ; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К3 (см. рис. К3б).

Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против хода часовой стрелки, а заданные скорость и ускорение – от точки В к b (на рис. К3.5 – К3.9).

Указания. Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

При определении ускорений точек механизма исходить из векторного равенства , где А – точка, ускорение которой или задано, или непосредственно определяется по условиям задачи (если точка А движется по дуге окружности, то ); В – точка, ускорение которой нужно определить.

Таблица К3а

(к рис. К3.0 –К3.4)

Номер условия	Углы, град.	Дано	Найти
					, 1/с	, 1/с	V точек	звена	а точки	зве на
							-	В, Е	DЕ	B	AB
						-		А, Е	АВ	A	AB
							-	B, E	AB	B	AB
						-		А, Е	DЕ	A	AB
							-	D, Е	АВ	B	AB
						-		А, Е	АВ	A	AB
							-	В, Е	DЕ	B	AB
						-		А, Е	DЕ	A	AB
							-	D, Е	АВ	B	AB
						-		А, Е	DЕ	A	AB

Таблица К3б

(к рис. К3.5 –К3.9)

Номер условия

Углы, град.

Дано

Найти

1/с

1/с2

VB, м/с

a B, м/с2

V точек

звена

а точки

звена

-

-

В, Е

АВ

В

АВ

-

-

А, Е

DЕ

А

АВ

-

-

В, Е

АВ

В

АВ

-

-

А, Е

АВ

А

АВ

-

-

В, Е

DЕ

В

АВ

-

-

D, Е

DЕ

А

АВ

-

-

В, Е

DЕ

В

АВ

-

-

А, Е

АВ

А

АВ

-

-

В, Е

DЕ

В

АВ

-

-

D, E

AB

A

AB

Рис. 3.0 Рис.3.1

Рис. К3.2 Рис. К3.3

Рис. К3.4 Рис. К3.5

Рис. К3.6 Рис. К3.7

Рис. К3.8 Рис. К3.9

Пример К3

Механизм состоит из стержней 1, 2, 3, и ползунов В и Е, соединенных друг с другом и с неподвижной опорой О₁ (рис. К3а).

Дано: ; ; ; ; ;

V _В = 8 м/с; а _В =10 м/с²; l ₁=0, 4 м; l ₂=1, 2 м; l ₃ =1, 4 м, AD = DB.

Определить: V _D, V _Е, , a _А, .

Рис. К3а

Решение.

Рис. К3б

2. Определяем V _D. Точка D принадлежит стержню АВ. Для определения V _D сначала найдем величину и направление скорости точки А. ^О₁А. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую эти точки.

Учитывая, что проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки, устанавливаем в какую сторону направлен вектор :

V _Вcos60⁰ = V _Acos30⁰;

V _A= V _Вcos30⁰/cos60⁰=13, 86 м/с.

Зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ, это точка С₃, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восстановленных из точек А и В.

По направлению вектора определяем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС С₃. Вектор скорости перпендикулярен отрезку С₃D, соединяющему точки D и С₃, и направлен в сторону поворота. Величину V _D найдем из пропорции: V _D/С₃D = V _A/С₃А. Треугольник АО₃D – равносторонний. С₃D = С₃А =0, 7 м; V _D = V _A =13, 86 м/с.

3. определяем . Точка Е принадлежит стержню ЕD. Направление найдем, учитывая, что точка Е принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно:

V _Dcos60⁰ = V _Еcos60⁰; V _Е = V _D =13, 86 м/с.

4. Определяем . Строим МЦС стержня (т. С₂). dc₂E – равнобедренный, c₂d = c₂E; c₂d определим по теореме синусов:

c₂d/sin30⁰ = dE/ sin120⁰,

c₂d = l ₂ sin30⁰ /sin120⁰ = l ₂ sin30⁰/ cos30⁰ =0, 69 м, тогда

= V _D/ c₂d =20 с^-1.

5. Определяем а _А.

Изображаем все векторы ускорений (рис. К3б).

Точка А движется по окружности радиуса О₁А, в этом случае представлена двумя составляющими:

.

вектор направлен вдоль АО₁, а – перпендикулярно АО₁, где:

V _A= ; = V _A/ l ₁ =34, 65 с^-1,

=480 м/с².

Для определения воспользуемся равенством:

.

Вектор направлен вдоль ВА, вектор перпендикулярен ВА.

Численно .

Находим с помощью построенного МЦС С₃ стержня 3:

,

м/с².

Таким образом, у величин, входящих в равенство, неизвестны только числовые значения и . Их можно найти, спроецировав обе части равенства на какие-нибудь две оси.

Чтобы определить , спроецируем обе части равенства на ось у:

,

м/с².

Так как , то, следовательно, вектор направлен в противоположную сторону от показанного.

Чтобы определить , спроектируем обе части равенства на ось х:

,

м/с².

< 0, следовательно, вектор направлен в противоположную сторону:

Определяем из равенства :

Ответ: V _D= 13, 86 м/с, V _E =13, 86 м/с, = 20 c^-1,

a _A = 601, 4 м/с²,

=161, 3 с^-2.