Теорема 7. 1

Множество функций, вычисляемых конечными автоматами, замкнуто относительно операции суперпозиции.

Доказательство

Пусть f: A ^* ® B ^* и g: B ^* ® C ^* - словарные функции, вычисляемые автоматами Â и Á из состояний и соответственно.

Рассмотрим устройство, получаемое подключением выхода автомата Â к входу автомата Á, как это изображено на рис. 7.5

 Á

C

Рис. 7.5

Это устройство называется суперпозицией автоматов Â и Á. Входным и выходным алфавитами автомата C являются множества A и C. Множество состояний автомата C состоит из всевозможных пар (, ), где - состояние Â, а - состояние Á. Работа автомата C в каждый момент времени связана с переработкой очередного входного символа a Î A из текущего состояния (, ), при котором сначала автомат Â перерабатывает a во входной символ автомата Á, который перерабатывает его в выходной символ, автомата C. Измененение состояния C состоит в изменении состояний Â и Á под действием входных символов автоматов Â и Á.

Тогда C является автоматом, который вычисляет функцию g f из начального состояния (, ).