Доказательство. Рассмотрим последовательность отношений k–неотличимости состояний автомата Á: r1,

Рассмотрим последовательность отношений
k –неотличимости состояний автомата Á: r ₁,..., r _k,...

Поскольку Á имеет отличимые состояния, то r₁ разбивает множество состояний Á не менее чем на два класса
1- неотличимых состояний. (В противном случае все состояния Á являются неотличимыми, поскольку 1 – неотличимость всех сотояний автомата означает, что значения функции выхода зависят только от входных символов.)

Согласно лемме 3, если r _i É r_i+1, то число классов (i + 1)-неотличимых состояний автомата хотя бы на 1 больше числа классов i -неотличимых состояний.

Поскольку автомат имеет n состояний, то найдется такое значение i < n, что справедлива цепочка включений:

r₁ ... r _{i - 1} r _i = r _{i +1} ...

Справедливость последнего свойства следует из того, что каждый элемент разбиения множества состояний Á на множества i -неотличимых состояний должен содержать хотя бы одно состояние.

Следовательно, r _i = e.

Поэтому, если состояния q _i и q _j являются отличимыми, то они должны различаться хотя бы на одном слове, длина которого не превосходит n - 1.