Синтез алгоритмов комбинационных схем управления.

Комбинационными схемами управления будем называть комбинационные автоматы, т.е. управляющие устройства, выходные сигналы которых полностью определяются текущей комбинацией входных сигналов. Такие устройства не обладают свойством памяти – неотъемлемым свойством любых реальных управляющих устройств, реализующих полный цикл автоматического управления. Однако комбинационные схемы непременно входят в состав реальных управляющих устройств в качестве их узлов или элементов.

Входными и выходными сигналами комбинационных схем являются дискретные сигналы двух уровней: высокого и низкого. Сигнал высокого уровня при синтезе схем управления обозначают единицей (1), а сигнал низкого уровня – нулём (0).

Типичными примерами технической реализации единичного сигнала являются:

• замыкание контакта, в результате которого на вход или выход релейной схемы управления поступает напряжение питания данной схемы;

• подача высокого потенциала на вход или выход электронной схемы управления, близкого по величине к напряжению питания схемы (например, 3 В при напряжении питания 5 В);

• прохождение намагниченного участка магнитного диска (дискеты) в зоне считывания информации.

Аналогичными примерами нулевого сигнала являются:

• размыкание контакта, в результате которого вход или выход схемы отключается от источника питания;

• подача низкого потенциала, близкого к нулю, на вход или выход электронной схемы (например, 0, 3 В при напряжении питания 5 В);

• прохождение ненамагниченного участка магнитного диска (дискеты) в зоне считывания информации.

Сопоставляются комбинационные схемы управления в следующей последовательности:

1) определяются все возможные комбинации выходных сигналов (выходных сигналов может быть несколько), которые соответствуют всем возможным комбинациям входных сигналов, определяющим функционирование управляемого объекта. На основании найденных соответствий входных и выходных сигналов составляется таблица истинности (таблица задания) проектируемого устройства (см. вопрос 3.3 и табл.2.1);

2) по полученной таблице истинности с помощью аппарата булевой алгебры составляются выражения логических (булевых) функций, реализуемых проектируемым устройством (см. вопрос 4.4 приложения 4), которые являются его алгоритмом управления. Полученные выражения максимально упрощаются посредством применения операций склеивания и поглощения (см. вопросы П.4.2, П.4.3 приложения 4);

3) составляется принципиальная электросхема устройства по формулам полученных логических функций с учётом электротехнических свойств и логических возможностей применённой элементной базы. При составлении принципиальной схемы учитывается нагрузочная способность источников входных сигналов и требования по обеспечению нагрузочной способности выходных цепей;

4) производится конструктивная разработка встройки проектируемой схемы управления в общую систему управления технологическим циклом.

Методику составления комбинационной схемы рассмотрим на примере синтеза преобразователя кода Грея, заданного табл.2.1, в арифметический двоичный код. Такой преобразователь может понадобиться для согласования сигналов кодового датчика положения с микропроцессорной системой управления, ведущей обработку числовой информации в двоичном арифметическом коде.

В табл.2.1 приведены также кодовые комбинации арифметического двоичного кода, отображающие те же позиции датчика положения, что и заданный код Грея. Эти комбинации соответствуют сигналам, которые должны формироваться на выходе преобразователя кода при подаче на его вход сигналов в коде Грея, формируемых датчиком положения. Следовательно, табл.2.1 является таблицей истинности синтезируемого преобразователя кода и первичной формой его алгоритма.

При логическом синтезе булевых функций данного преобразователя будем считать, что каждый выходной сигнал является особой функцией четырёх входных сигналов, а в дальнейшем учтём интересные для нас связи между данными функциями. Входные сигналы обозначим через X1, X1, X3 и X4, а выходные сигналы – через Y1, Y2, Y3 и Y4. После этого таблица истинности проектируемого преобразователя кода примет вид таблицы задания (табл.5.1).

Таблица 5.1

Таблица истинности проектируемого преобразователя кода

(таблица задания)

Составление исходного логического выражения по таблице задания производится либо в дизъюнктивной, либо в конъюнктивной форме. При синтезе булевой функции:

,

в дизъюнктивной форме, т.е. в виде суммы (дизъюнкции) логических произведений, выписываются все наборы значений аргументов Х1, Х2, …, Xn, которым соответствует значение Yi = 1. Затем каждый набор представляют в виде логического произведения (конъюнкции) аргументов X1, X2, …, Xn, или их инверсий, причём в составе конъюнкции оставляют сам аргумент, если в рассматриваемом наборе его значение равно единице, и берут его инверсию, если его значение в рассматриваемой комбинации X1, X2, …, Xn равно нулю. Формирование логической (булевой) функции Y_i завершается путём суммирования (взятия дизъюнкции) всех полученных указанным способом произведений, которые принято называть минитермами.

В качестве примера получим в дизъюнктивной форме выражение для Y4. Функция Y4 равна единице во всех нечётных позициях датчика положения (см. табл.5.1). В позиции 1 имеем: X1 = 0, X2 = 1, X3 = 0, X4 = 1, что соответствует конъюнкции X1 X2 X3 X4. Сформировав таким способом конъюнкции входных сигналов для всех случаев, когда Y4 = 1, и соединив полученные конъюнкции знаками сложения, получим:

Y4 = X1 X2 X3 X4 + X1 X2 X3 X4 + X1 X2 X3 X4 + X1 X2 X3 X4 +

+ X1 X2 X3 X4 + X1 X2 X3 X4 + X1 X2 X3 X4 + X1 X2 X3 X4. (5.1)

Обратив внимание на то, что каждая конъюнкция, входящая в состав выражения (5.1), равна единице только тогда, когда её аргументы принимают значения, на основании которых данная конъюнкция была сформирована. Так, конъюнкция X1 X2 X3 X4 = 1, если X1 = 0, X2 = 1, X3 = 0, X4 = 1. Следовательно, вычисление значения Y4 по формуле (5.1) даст Y4 = 1 только в тех случаях, когда Y4 = 1 в табл.5.1, что и требуется.

Для составления логического (булевого) выражения функции в конъюнктивной форме, т.е. в виде произведения (конъюнкции) сумм аргументов или их инверсий, необходимо выписать из таблицы истинности (таблицы задания) все наборы значений аргументов X1, X2, …, X_n, которым соответствует значение Y_i = 0. Затем в каждом наборе следует заменить значение X_i = 1 инверсией X_i, а вместо значения X_i = 0 подставить сам X_i и сформировать их этих наборов суммы аргументов X1, X2, …, X_n или их инверсий. Выражение для Y_i получится после перемножения (взятия конъюнкции) полученных сумм. Далее мы будем работать с логическими выражениями, записанными в дизъюнктивной форме, более удобной для синтеза схем на той элементарной базе, какой мы будем пользоваться в разбираемых примерах.

После составления исходного логического выражения булевой функции его следует максимально упростить методом склеивания (см. вопрос П.4.3 приложения 4). Поскольку склеивать можно лишь минитермы, которые различаются значением только одного аргумента, то функции Y4 упрощению данным методом не подлежит. Упрощение логических выражений методом склеивания будет произведено в полной мере лишь тогда, когда будут произведены все возможные для заданной функции склеивания. Рассмотрим регулярную процедуру склеивания, пригодную для машинной обработки и известную под названием метода Квайна – Мак-Класки. Предварительно заметим, что нет необходимости обязательно подставлять значения X_i и их инверсий при выписывании наборов значений аргументов, соответствующих Y = 1, из таблицы истинности. Ведь принадлежность того или иного значения тому иному аргументу нетрудно определить по месту расположения единицы или нуля в выписанном наборе. Соответственно, наборы аргументов, подлежащие склеиванию, будут различаться значениями только одного аргумента.

Далее приведена методика Квайна – Мак-Класки

1. Выписывают в столбик наборы аргументов X1, X2, …, X_n (минитермы), на которых заданная функция равна единице. Минитермы разбивают на группы так, чтобы внутри группы были лишь минитермы с одинаковым числом единиц, а количество единиц в соседних группах отличалось минимально. Результаты разбиения на группы минитермов функций, заданных в табл.5.1, приведены в табл.5.2. Там же указан ранг минитермов, равный числу входящих в них аргументов.

2. Производят все возможные склеивания минитермов соседних групп, отличающихся значением только одного аргумента. При склеивании на месте аргументов, значения которых в склеиваемых минитермах было различным, ставят прочерк. Вместо двух склеенных минитермов появляется один новый, ранг которого понижен на единицу. Склеиваемые минитермы подчеркивают (см. табл.5.2).

3. Полученные в результате склеивания минитермы сниженного на единицу ранга помещают в новую таблицу. Так, результаты склеивания минитермов 4-го ранга, приведённых в табл.5.2, помещены в табл.5.3. Вновь полученные минитермы разбивают на группы и по возможности склеивают по тому же правилу, но только тогда, когда прочерки у них находятся в одних и тех же местах. Результаты склеивания минитермов 3-го ранга разбираемого примера приведены в табл.5.4

Таблица 5.2

Таблица 5.3

Таблица 5.4

Из минитермов 2-го ранга (см. табл.5.4) склеиваются только те, которые входят в состав функции Y3. В результате этого склеивания у функции Y3 появляется один минитерм 1-го ранга ---0.

4. Если в соседних группах нет минитермов, различающихся значением только одного аргумента, то склеивание невозможно. Анализируя в этом смысле минитермы функции Y4, приведённые в табл.5.2, мы видим, что они не склеиваются.

5. Минитермы, оставшиеся неподчёркнутыми, т.е. минитермы, не подлежащие дальнейшему склеиванию, называются простыми импликативными. Они составляют в своей совокупности минимизированное выражение каждой из логических функций алгоритма синтезируемой комбинационной схемы. Дальнейшая минимизация производится методом поглощения (см. вопрос П.4.2, П.4.3 приложения 4). При минимизации этим методом часть простых импликантов может быть исключена, если все их логические функции выполняются другими простыми импликантами. Если логические функции какого-либо простого импликанта полностью перекрывается одним импликантом, то последний хорошо заметен. Если же эти функции перекрываются совокупностью нескольких импликантов, то возможности поглощения не очевидны. Чтобы не упустить имеющиеся возможности упрощения полученного алгоритма, прибегают к составлению таблицы меток.

В строках такой таблицы помещают все простые импликанты, а в столбцах – все минитермы высшего ранга минимизируемой функции (в нашем примере – это минитермы 4-го ранга). Затем ставят метки на пересечении каждой строки и столбца, соответствующие минитерму, имеющему в своём составе те же значения аргументов, что и у простого импликанта, представленного в строке (табл.5.5, 5.6). Если какой-либо минитерм покрывается только одним простым импликантом, то последний отмечают звёздочкой (см. табл.5.5. 5.6) и в дальнейшем называют его существенным импликантом, который обязательно включает в минимизированное выражение функции. В разбираемом примере существенными импликантами покрываются все минитермы, так что их достаточно для отображения заданных функций. Если же в таблице меток остаются непокрытые существенными импликантами минитермы, то для них выбирают минимальное покрытие из оставшихся простых импликантов. В заключение заметим, что для функций Y3 и Y4 строить таблицы меток нет необходимости, так как из выражения проверяются непосредственно по таблице задания (табл.5.1).

Таблица 5.5

Таблица 5.6

6. Минимизированные выражения логических функций, входящих в состав алгоритма комбинационной схемы, переводят в буквенную дизъюнктивную форму по тем же правилам, по которым была получена формула (5.1) для функции Y4, но с учётом того, что прочерк в таблице меток означает отсутствие соответствующего аргумента в логической формуле. В нашем примере, проставляя в существенных импликантах, приведённых в табл.5.5 и 5.6, вместо единицы соответствующий аргумент, а вместо нуля – инверсию аргумента и суммируя полученные путём такой подстановки конъюнкции, получим следующие выражения для функций Y1 и Y2:

Y1 = X1 X2 X4 + X2 X3 + X3 X4; (5.2)

Y2 = X2 X4 + X1 X3 X4 + X1 X3 X4. (5.3)

Так как у функции Y3 имеется единственный простой импликант (---0), то её логическая формула предельно проста:

Y3 = X4. (5.4)

Выражение для Y4 определяется формулой (5.1), поскольку не подлежит, как показано ранее, упрощению методом Квайна – Мак-Класки.