Синтез нечёткого регулятора положения.

Типичным режимом работы следящих электроприводов СПУ является позиционирование с обеспечением точного останова в заданной точке.

Подход к точке останова может осуществляться при различных нагрузках, что приводит к потере точности при статическом регуляторе положения или к затягиванию процесса останова при наличии астатического регулятора. Противодействовать данному явлению можно с помощью нечёткого регулятора положения (НРП), предназначенного для оптимизации режима позиционирования следящего электропривода, структурная схема которого приведена на рис.4.5.

Рис.4.5. Структурная схема следящего электропривода

с нечётким регулятором положения:

УМК – управляющий микроконтроллер;

РП – регулятор положения в составе основного регулятора (ОРП) и нечёткого регулятора (НРП);

КСД – контур скорости электродвигателя;

МП – механическая передача

Здесь микроконтроллер УМК управляет контуром скорости ω двигателя (КСД) посредством управляющего напряжения U_з.с. Контур скорости может быть реализован комплектным электроприводом постоянного или переменного тока. Настройка КСД на модульный оптимум позволяет отобразить его инерционным звеном с постоянной времени Т_с, а К_о.с – это коэффициент обратной связи по скорости двигателя в контуре скорости. Двигатель приводит в движение рабочий орган через механическую передачу (МП) с коэффициентом передачи К_мп.

Сигнал обратной связи по положению S рабочего органа подаётся на вход следящей системы через датчик обратной связи по положению с коэффициентом передачи К_о.п. Данный сигнал используется также для формирования обратной связи по скорости перемещения рабочего органа с помощью дифференцирующего звена с постоянной времени Т_Д.

Значение рассогласования:

(4.39)

Между заданным положением (установкой положения) S₃ и сигналом обратной связи по положению К_о.п S подаётся как на основной регулятор положения (ОРП), так и на нечёткий регулятор положения (НРП). Кроме того, на НРП подаётся сигнал обратной связи по скорости рабочего органа, взятый с обратным знаком. Учитывая, что производная δ по времени равна (при S₃ = const):

,

приходим к выводу, что на вход НРП подаётся сигнал:

. (4.40)

Будем далее называть δ ошибкой по положению, а - производной ошибки по положению.

Из структурной схемы, представленной на рис.4.5, получаем следующее дифференциальное уравнение непрерывной части данного следящего привода:

, (4.41)

где U_з.с(ε) – управляющее напряжение, формируемое на выходе РП;

Т_В – эквивалентный коэффициент вязкого трения, численно равный обратной величине коэффициента усиления разомкнутого контура непрерывной части привода, .

Значение U_з.с при управлении от НРП изменяется дискретно. При ε > 0 имеем U_з.с = U_з.max, при ε < 0 имеем U_з.с = -U_з.max, а при малых значениях , соответствующих зоне нечувствительности РП, должно быть U_з.с = 0.

Предположим, что . С учётом того, что:

,

записываем дифференциальное уравнение фазовых траекторий рассматриваемого привода в виде:

.

Интегрируя полученное уравнение, получим следующее уравнение фазовых траекторий:

, (4.42)

где y₀, δ ₀ – начальные значения фазовых переменных при интегрировании.

При U_з.с = 0 получим:

, (4.43)

т.е. фазовые характеристики являются при U_з.с = 0 прямыми с отрицательным наклоном. Это означает, что при U_з.с = 0 происходит торможение привода. Если при y = 0 окажется, что U_з.с = 0, то наступит состояние останова (δ = const), так как отсутствует побудительная причина дальнейшего изменения скорости (U_з.с = 0), а скорость стала равной нулю (). С другой стороны, перерегулирование по скорости невозможно, так как КСД (см. рис.4.5) эквивалентен апериодическому звену.

Далее будем полагать, что зона нечувствительности релейного НРП определяется заданной точностью позиционирования и составляет . В таком случае условиями переключения из режимов U_з.с ≠ 0 в режим U_з.с = 0 и обратно будут согласно формуле (4.40) следующие уравнения:

. (4.44)

Определим максимальное (граничное) значение y_гр, которое при переходе к режиму U_з.с = 0 обеспечивает уменьшение скорости до значения y = 0 при . Поскольку уравнения (4.44) симметричны, достаточно рассмотреть случай, когда имеем конечное значение при конечном значении y = 0. Соотношение между начальными значениями y₀ = y_ГР и δ ₀ в этом случае будет определяться вторым уравнением (4.44), следовательно:

. (4.45)

Подставив соотношение (4.45) в уравнение (4.43) при y = 0, y₀ = y_ГР и δ = ε ₁, получим (с учётом симметрии параметров):

. (4.46)

При имеем , так что при всегда обеспечивается устойчивый останов привода в пределах заданной зоны . Однако оптимальный по быстродействию (скользящий) режим работы следящего электропривода с релейным управлением реализуется лишь при . При работе в скользящем режиме фазовая траектория привода проходит вдоль линий переключения (4.44), отклоняясь от них на величину гистерезиса релейной характеристики РП, который незначителен. Поэтому найдём зависимость от параметров привода максимально допустимого значения U_з.с, обеспечивающего выход на переключение от к U_з.с = 0 при условии, что:

.

Найдём условия, при которых обеспечивается устойчивый останов в заданной точке позиционирования, причём внутри зоны нечувствительности.

Предположим, что U_з.с > 0, следовательно, движение в сторону уменьшения δ начнётся при .

При U_з.с < 0 начальное значение δ ₀ будет противоположным по знаку, а в остальном расчётные соотношения будут такими же. Движение при U_з.с > 0 будет продолжаться до границы, определяемой первым уравнением (4.44), откуда получим условие переключения на работу U_з.с = 0 в интересующем нас граничном режиме:

.

Подставив полученное значение δ при и в уравнение (4.42), получим:

.

Теперь необходимо подставить в полученное уравнение значение y_ГР из соотношения (4.46) в варианте со знаком «минус»; поскольку имеем при , а при U_з.с > 0 и при работе в скользящем режиме имеет место . После подстановки получим:

. (4.47)

Из полученного уравнения (4.47) следует, что при:

, (4.48)

обеспечивается устойчивое завершение позиционирования в пределах независимо от величины начального рассогласования δ. Последнее же перед остановом не может превышать значение более чем на ширину зоны гистерезиса, т.е. перед остановом имеет место .

Полученные соотношения используем в алгоритме построения нечёткого релейного регулятора положения. Так, величину ε будем рассчитывать по формуле (4.40). Если и достигнута граница области функционирования нечёткого регулятора , то устанавливаем , а если , то устанавливаем ,. При достижении значения ε пределов устанавливаем . Одновременно задаём пониженное значение , определённое с помощью формулы (4.48) и уточненное при настройке регулятора.

Таким образом, подход к заданному положению будет осуществлён с максимальной скоростью, а предотвращение колебаний у заданного положения будет осуществлено после достижения заданной зоны останова (зоны нечувствительности). На этом функции НРП должны заканчиваться. При поступлении большого возмущения, когда (где – граничное значение ошибки, определяющее пределы функционирования НРП), нечёткий регулятор должен быть автоматически отключён, а вместо него должен быть включён ОРП.

Необходимость в нечётком регуляторе возникла потому, что при подходе к заданному положению величина δ измеряется малым количеством дискрет (отсчётов) датчика положения, а каждая дискрета занимает относительно соседней дискреты не вполне определённое положение из-за погрешности шкалы датчика. Деление шкалы устанавливаются с некоторой погрешностью, которая при переходе от дискреты к дискрете изменяется, так как имеет случайный характер.

При большом количестве отсчётов погрешности отдельных дискрет взаимно компенсируются, но при подходе к заданному положению, когда речь идёт о значениях δ, равных одной-двум дискретам, погрешность может оказаться значительной, близкой к величине одной дискреты. Распределение погрешностей отсчёта положения рабочего органа можно отобразить в виде совокупности нечётких множеств:

,

функции принадлежности которых при ведены на рис.4.6.

Рис.4.6. Функции принадлежности дискрет ошибки по положению рабочего органа.

Величина δ здесь отложена по оси абсцисс в дискретах, приведённых ко входу РП в соответствии с соотношением (4.39). Распределение функции принадлежности на каждой дискрете соответствует равномерному убыванию возможности предполагаемого расположения дискреты в обе стороны от заданной позиции , которой соответствует , до крайних позиций . Предполагается, что максимальная погрешность по положению не превышает одной дискреты. На рис.4.6 заштрихованная область функции принадлежности дискреты .

Из рис.4.6 видно, что помимо заданной позиции линия дискреты может быть случайным образом расположена с убывающей вероятностью от позиции до позиции . Функции принадлежности величины , второй составляющей сигнала ε, подаваемого на вход НРП, задаются по тем же правилам, что и . Они отображают множества:

.

Величина сигнала δ, являющаяся согласно соотношению (4.40) суммой двух нечётких чисел, также является нечётким числом. Нас будут интересовать реализации ε, соответствующие реализациям δ и , поступающим на вход НРП. Их можно получить по правилам сложения нечётких чисел, рассмотренным в вопросе 4.5.1.

При сложении нечётких чисел значения треугольной функции принадлежности удобно рассчитывать по формуле:

, (4.49)

где u_i – значение носителя i -го нечёткого множества;

а – величина дискреты носителя нечёткого множества.

В рассматриваемом случае a = 1. При i = 2 заштрихованное нечёткое множество (см. рис.4.6) имеет μ _i = 1 при u_i = 2; μ _i = 0 при u_i = 1 и u_i = 3. В каждом нечётком множестве имеем:

.

В качестве примера допустим, что δ = 1, 7 и (при работе в скользящем режиме значения δ и имеют противоположные знаки). Носитель δ = 1, 7 принадлежит одновременно множествам 1 и 2, а носитель - множествам -1 и 0. Воспользовавшись формулой (4.49) и предположив, что а = 1 и u_i = 1, 7 или u_i = -0, 9, получим следующие реализации нечётких чисел и :

А_{δ 1} = 0, 3/1, 7; А_{δ 2} = 0, 7/1, 7; А_y(-1) = 0, 9/-0, 9; А_у0 = 0, 1/-0, 9.

А_δ + А_у = {0, 3/0, 8; 0, 1/0, 8; 0, 7/0, 8},

А_δ + А_у =0, 7/0, 8,

что соответствует значению сигнала управления

ε = 0, 7*0, 8 = 0, 56.

Если величина ε больше единицы, то значение ε следует вычислять по формуле:

,

где a(i) - целая часть значения ε;

∆ а – дробная часть значения;

μ _а – функция принадлежности ε, вычисленная по изложенной здесь методике.

Для вычисления рекомендуем использовать следующую формулу:

, (4.50)

где Т – время цикла управления;

δ ₂ и δ ₁ – значения δ соответственно в конце и в начале цикла.

Значения δ вычисляются по формуле (4.39) с учётом нечёткости S.

Приложение 4