Второе доказательство.

Оно использует объемные построения и избавляет нас от подсчета каких-либо расстояний. Будем мыслить окружности проведенными на сфере. При этом все теоремы геометрии окружности будут точно такими же. Окружность на сфере – это линия пересечения сферы с плоскостью. Поэтому каждая окружность на сфере задает плоскость в пространстве (ту, на которой лежит). Обратное не верно: плоскость, не имеющая со сферой общих точек не задает никакой окружности. Правда, такая плоскость задает отображение сферы в себя (симметрию), которая, как и инверсия – отображает окружности в окружности, сохраняет углы между окружностями и т.п. Но у этого отображения – нет неподвижных точек, в отличие от обычной инверсии. Это – мнимая инверсия.

Если две окружности пересекаются, то их плоскости пересекаются по прямой, проходящей через сферу и точки пересечения этой прямой со сферой есть точки пересечения двух окружностей. Каждой плоскости, проходящей через эту прямую, отвечает окружность на сфере, проходящая через эти две точки (точки пересечения прямой и плоскости). Можно сказать, что всякой прямой, пересекающей сферу соответствуют окружности, проходящие через точки пересечения ее со сферой.

Что будет, если прямая касается сферы? В этом случае плоскости, проходящие через данную прямую, пересекаются со сферой по окружностям, касающимися этой прямой и друг друга в точке касания прямой и сферы.

Если прямая не имеет со сферой общих точек, то некоторые плоскости, проходящие через нее, пересекаются со сферой, две плоскости – касаются со сферой, а другие проходят мимо сферы. Получающееся семейство окружностей (по которым плоскости, проходящие через данную прямую пересекают сферу) не пересекаются друг с другом, все окружности лежат одна внутри другой и обладают рядом свойств, схожими с предыдущими двумя случаями. Это семейство окружностей называют " пучком окружностей".

Теперь докажем теорему.

Вернемся к рис. 1 Рассмотрим окружности А, В, D1 и D3. Нам известно, по условию, что все эти окружности пересекаются между собой, и что точки пересечения D1 с А и D3 с В лежат на одной окружности (это окружность С). Требуется доказать, что точки пересечения А и В лежат на одной окружности с точками пересечения D1 и D3 (именно через них проходит, точнее, должна проходить по теореме окружность D2).

Перейдем к плоскостям, в которых лежат окружности A, B, D1 и D3. Тот факт, что точки пересечения А с В и D1 с D3 лежат на одной окружности эквивалентен тому, что эти четыре точки лежат на одной плоскости. Пусть теперь А, В, D1 и D3 означают не только окружности, но и плоскости, в которых они лежат (что именно, окружности или плоскости – будет ясно из контекста).

Пересечение А с D1 – прямая, и В с D3 – прямая. Эти две прямые лежат в одной плоскости (в которой лежит окружность С). Требуется доказать, что пересечение А с В и D1 c D3 – также лежат в одной плоскости. Докажем от противного. Если АÈ В и D1È D3 не лежат в одной плоскости, то они не пересекаются, следовательно пересечение АÈ ВÈ D1È D3 – пусто. Но по условию АÈ D1 и ВÈ D3 – в одной плоскости, следовательно эти прямые имеют общую точку (считаем параллельные прямые пересекающимися бесконечно далеко). Следовательно пересечение АÈ ВÈ D1È D3 не пусто. Противоречие, что и требовалось доказать.

Немного терпения. Еще раз переформулируем теорему. Назовем пучком плоскостей семейство плоскостей, проходящих через какую-то одну прямую. Назовем пучки плоскостей соединимыми, если существует плоскость, лежащая в двух этих пучках одновременно. Это равносильно тому, что две прямые, образующие два этих пучка – лежат в одной плоскости. Пусть как и ранее, А, В, D1, D3 – произвольные плоскости. Четыре плоскости можно разбить на пары тремя способами.

1. (А, В) и (D1, D3)

2. (A, D1) и (B, D3)

3. (A, D3) и (B, D1)

Мы только что доказали, что если в каком-то случае пучки соединимы (т.е. пересечения пар плоскостей сами лежат в одной плоскости), то и остальные пары пучков – соединимы. Обозначим это утверждение (*). Доказательство, как мы видели, сводилось к тому, что соединимость двух пучков равносильна тому, что пары плоскостей, образующих пучки – пересекаются в одной точке). В нашем случае имеется предусмотренное пунктом 2. Мы доказали что из этого следует 1. и 3.

Теперь перейдем к окружностям на сфере. Для этого рассмотрим какую-то сферу, пересекающую все четыре плоскости. Мы доказали более общее утверждение. Например, пусть окружности А, В, С – не пересекаются.

Рисунок 4.

(непересекающиеся окружности А, В, С, точка P, проходящие через нее окружности из пучков, образованных окружностями (А, С) и (В, С). Пусть они пересекаются в точке Q тогда окружность из пучка А и В также проходит через точку Q. Заметим, что пока мы не разобрали, как построить на плоскости окружность, проходящую через данную точку и данный пучок.

Теперь, как и было обещано в начале, обобщим теорему.

Изменим, обозначения. Пусть А, В, С, D – гиперплоскости. Точно также определим пучок гиперплоскостей, как совокупность гиперплоскостей таких, что пересечение любых двух совпадает (это будет гиперплоскость размерности на 1 меньше, чем у исходных). Назовем два пучка соединимыми, если есть гиперплоскость, лежащая сразу в двух этих пучках. Тогда соединимость пучка, заданного например, парой А и В с пучком, заданным парой С и D равносильна тому, что АÈ ВÈ СÈ D есть гиперплоскость размерности на 2 меньше чем у А, В, С, D (а в общем случае было бы на три меньше). И имеет место утверждение (*). поместим в это многомерное пространство гиперсферу. Гиперплоскости пересекут ее по гиперокружностям. Точно также можно определить пучки гиперокружностей и получить теорему: если пучки гиперокружностей (А, В) и (С, Д) – соединимы то (А, С) и (В, D) – соединимы и (A, D) с (В, С) – соединимы.