Три взаимнокасающиеся окружности.

Начнем с простейшей задачи о трех взаимнокасающихся окружностях. Докажем, что если три окружности А, В, С – взаимнокасаются, то окружность, проведенная через три точки их касания – ортогональна всем трем исходным.

Рисунок 1.

(три взаимнокасающихся окружности А, В, С, окружность О, проходящая через три точки их касания, общая касательная прямая к А и В)

Обозначим АВ, АС и СА – точки касания соответственных окружностей, окружность, проведенную через них обозначим О. Пусть О образует с А угол α (считаем все углы расположенные вне О), то В с О образует угол pi–α (т.к. А и В касаются), В с С угол pi–(pi– α)= α. Рассматривая точку Ас получим, что А образует с О угол pi– α. Но по предположения А образует с О угол α. Следовательно α =pi– α, следовательно α =pi/2. Отметим, что подобное рассуждение проходит при любом нечетном числе окружностей, попарно, по цепочке касающихся друг друга, если точки их касания лежат на одной окружности (это напоминает лепестки или шестеренки). в этом случае они ортогональны окружности, проходящей через точки касания.

Второе доказательство будет чуточку не строгим. Но демонстрирует очень важный метод. Возьмем произвольную точку Х, проведем через нее три окружности так, чтобы одна касалась А и В в точке АВ, другая – В и С в точке ВС, третья А и С в точке АС.

Рисунок 2.

(Окружности А, В, С, точка Х и описанные выше окружности)

Все эти окружности пересекутся в одной точке Y (по теореме о пучках пред. статьи). Таким образом произвольной точке Х плоскости ставится в соответствие точка Y I(X)=Y. Отображение I – инверсия, точки АВ, АС, ВС – неподвижны при этой инверсии, значит проходящая через эти точки окружность – есть неподвижная окружность инверсии I (остается неподвижной не только окружность в целом, но и каждая точка на этой окружности). Но при этой инверсии окружности А, В, С – переходят в себя. Значит – они ортогональны окружности инверсии I, которая, как было сказано – проходит через точки касания А, В и С. Что и требовалось.

Найдем центр этой инверсии. при инверсии центр перейдет в бесконечно удаленную точку. Окружности, проходящие через нее – изображаются прямыми. проведем три прямые, касающиеся окружностей А, В, С в точках их взаимного касания. У них есть общая бесконечно удаленная точка, значит, по теореме о пучках есть и вторая общая точка, которая сопряжен с бесконечно удаленной относительно инверсии I. Она и есть центр инверсии I.

Рисунок 3.

(окружности А, В, С, три их общих касательный прямых, пересекающихся в одной точке Р)

Планиметрически очень просто доказать, что |P, АВ|=|P, AC|=|P, BC|.

Интересно проследить, как переходят друг в друга, меняясь местами при этой инверсии окружности, касающиеся А, В, С и далее.

Рисунок 4.

(А, В, С, окружность Е, касающаяся их извне, Е1, касающаяся их изнутри, D, касающаяся А, В и Е; D1 касающаяся Е1, А, В.

Окружность Е, касающаяся А, В, С извне (как лассо) перейдет в окружность Е1, касающуюся их изнутри, окружность D в D1 касающуюся Е1 и А, В и т.п.

С помощью изложенного легко доказать следующее. Пусть на окружности А фиксированы две точки Р1 и Р2. Рассмотрим всевозможные пары окружностей, одна из которых касается А в точке Р1, а другая – в точке Р2. Утверждается, что все возможные точки касания этой пары окружностей между собой – лежат на одной окружности, ортогональной А и проходящей через Р1 и Р2.

Рисунок 5.

(Окружность А, точки Р1 и Р2, Окружности В1, В2, В3, В4, касающиеся А в точке Р1, Окружности С1, С2, С3, С4, касающиеся окружности А в точке Р2. Кроме того В1 касается С1 в точке Q1, В2 касается С2 в точке Q2, С3 касается В3 в точке Q3, С4 касается В4 в точке Q4)

Утверждается, что точки Q1, Q2, Q3, Q4 – лежат на одной окружности.

Доказательство. По доказанному ранее, окружность, проведенная через Р1 и Р2 и точку касания В1 и С1 – ортогональна А, В1, С1 (т.к. все три касаются друг друга). Эта окружность проходит через Р1 и Р2, лежащие на А. Но через две точки, лежащие на окружности, можно провести единственную ортогональную ей окружность. Следовательно, на этой окружности лежат и точки касания В2 с С2, В3 с С3, В4 с С4 и т.п. что и требовалось.

Теорему можно обобщить. Пусть на окружности А заданы пары точек Р1, Р2 и Q1, Q2 и эти пары не разделяют друг друга. Какие бы окружности В и С такие, что В проходит через Р1 и Р2, а С – через Q1 и Q2 мы не взяли, если они касаются друг друга, то их возможные точки касания лежат на одной окружности, ортогональной А.

Рисунок 6.

(Окружность А, точки Р1, Р2, Q1, Q2, окружность В, проходящая через Р1 и Р2, окружность С, проходящая через Q1, Q2 и касающаяся В).

Доказательство. Воспользуемся теоремой о пучках и тем фактом, что раз Р1, Р2, Q1, Q2 – на одной окружности, то существует единственная инверсия I такая, что I(P1)=P2, I(Q1)=Q2. При этой инверсии I(A)=A, I(B)=B, I(C)=C т.к. все окружности проходят через пары сопряженных точек и, следовательно – ортогональны окружности инверсии I. Пусть Х – точка касания В и С, значит I(X) – точка касания I(B) и I(C). Но I(B)=B, I(C)=C, значит I(X) – точка касания В и С. Их точка касания – это Х, а второй точки касания у окружностей быть не может, следовательно I(X)=X. Следовательно Х лежит на неподвижной окружности инверсии, определенной парами сопряженных относительно нее точек: (Р1, Р2) и (Q1, Q2), Можно изучить также окружности, проходящие через пары точек (Р1, Q1) и (P2, Q2). Попробуйте доказать, что точки касания этих окружностей также сами лежат на одной окружности, причем ортогональной I! (в том случае, если эти пары не разделяют друг друга. в этом случае просто невозможно, чтобы проходящие через них окружности – касались друг друга).

Заметим, что предельным переходом можно получить из доказанного тот случай, когда В и С касались А. Нужно представить, что точки Р1 и Р2 все ближе и ближе друг к другу, также и точки Q1 и Q2. Тогда В и С будут «почти касаться» А.