Тройственные симметрии.

Эти теоремы начнем доказывать и формулировать не используя чертежи, «не глядя». Предыдущие теоремы мы доказывали, изучая действия разных отображений на 4 точки А, В, С D. В тех случаях, когда композиция отображений оставляла неподвижными все эти точки – мы получали геометрическую теорему. Но как отмечено (!) достаточно для теорем будет, если неподвижными остаются три точки (а не четыре!). Посмотрим, нельзя ли определить инверсию, используя всего три точки А, В, С? Можно. Представим, что в предыдущем случае точки С и D приближаются друг к другу. В пределе мы получим f1(A)=B, f1(C)=C (потому что точка D сравняется с С). Иначе говоря, при инверсии – точки А и В меняются местами, а точка С – остается неподвижной (т.е. лежит на окружности инверсии). Легко видеть, что точки А, В, С определяют три возможные инверсии f1, f2, f3 такого типа:

f1(A)=B, f1(C)=C

f2(A)=C, f2(B)=B

f3(B)=C, f3(A)=A

При каждой такой инверсии две точки из трех рассматриваемых меняются местами, а третья – остается неподвижной. Теперь мы изучим свойства этих трех инверсий и свойства их композиций и даже найдем углы между неподвижными окружностями этих инверсий. И все это мы сделаем – не гляди на сами инверсии, не пользуясь никакими чертежами и рисунками!

Рассмотрим, например, h=f1(f2(f3(X))). Определим, как действует эта композиция всех трех инверсий на трех точках А, В, С. h(A)= f1(f2(f3(A)))=f1(f2(A))=f1(C)=C; h(B)= f1(f2(f3(B)))=f1(f2(C))=f1(A)=B; h(C)= f1(f2(f3(C)))=f1(f2(B))=f1(B)=A. Итак: h(A)=C, h(C)=A, h(B)=B. Мы увидели, что h оставляет неподвижной точку В и меняет местами А и С, на точках А, В, С отображение h совпадает с f2. Значит, они либо совпадают на всех точках, либо отличаются на инверсию. Но поскольку они оба состоят из нечетного числа инверсий (h из трех, а f2 – из одной) то они не могут отличаться на одну инверсию. Значит – они совпадают на всех точках.

Итак f1(f2(f3(X)))= f2(X). совершенно аналогично мы получим, что, например f3(f1(f2(X)))=f1(X) и вообще композиция в любом порядке всех трех рассматриваемых инверсий – снова инверсия, причем именно та, которая осуществлена второй в этой композиции. А чему равно, например f1(f2(X))?

Опять-таки, рассмотрим как действует эта композиция f1(f2(X)) на точки А, В, С

f1(f2(А))=f1(C)=C

f1(f2(C))=f1(A)=B

f1(f2(B))=f1(B)=A

Итак, f1(f2(А))=C, f1(f2(C))=B. f1(f2(B))=A, т.е. f1(f2(X)) сдвигает А в С, С в В, В в А. циклически передвигая (А, С, В) – каждый символ в следующий, при этом конец склеен с началом. Легко убедиться, что если мы применим f1(f2(X)) трижды то все три точки будут неподвижными. f1(f2(f1(f2(f1(f2(X))))))=X если X=A или если X=B или если X=C. Или (f1*f2)³(X)=X (в точках А, В, С) Здесь мы обозначили f1*f2 композицию f1(f2(X)) и указали, что применили ее трижды. Т.к. в этой композиции шесть инверсий (две инверсии f1 и f2, примененные трижды, всего инверсий осуществляется 2х3=6), то результат не может быть одной инверсией. Т.к. он оставляет неподвижными три точки А, В, С – и не является инверсией, то он – оставляет неподвижными все точки плоскости. Итак (f1*f2)³(X)=X для всех точек плоскости, или (f1*f2)³=е (буквой е – обычно обозначают движение, оставляющее все точки плоскости неподвижными, как О в сложении или поворот на нулевой угол и т.п.) Аналогично показывается, что (f3*f2)³=е и (f1*f3)³=е.

Теперь, когда мы определили свойства композиций составленных из инверсий f1, f2, f3 – найдем, какой геометрический, наглядный смысл у этих свойств. прежде всего, докажем лемму:

Если P и Q – две действительные инверсии и (P*Q)ⁿ=e (т.е. если их выполнять одну за другой, то рано или поздно мы придем в исходное состояние, все точки вернутся на свои места), то P и Q – пересекаются. Докажем от противного. Предположим, что P и Q не пересекаются. Тогда их композиция P*Q последовательно применяемая постепенно стягивает все точки к центру пучка, образованного этими окружностями (вопрос, как именно двигаются точки при последовательном применении этой композиции, или каковы траектории точек – очень интересен, мы его обсудим в отдельной статье). Но если точки постепенно стягиваются, то они никогда не вернутся на прежнее место. Поэтому, если P и Q не пересекаются, то (P*Q)ⁿ=e – невозможно. что и требовалось.

Прежде чем применить лемму, заметим, что f1, f2, f3 – действительные инверсии, т.к. в каждом случае есть неподвижная точка. Будем теперь обозначать f1, f2, f3 – не только инверсии, но и те окружности, относительно которых они осуществляются. Раз (f1*f2)³=е, то по лемме f1 и f2 – пересекаются. Обозначим точки пересечения P и Q, осуществим какую-нибудь инверсию с центром в P, тогда f1 и f2 перейдут в прямые, причем композиция симметрий относительно этих прямых (см ст. 2) – есть поворот на удвоенный угол между ними. Пользуясь этим легко определить угол между прямыми, поскольку нам известно, что примененный трижды этот поворот вернет все на свои места. Пусть угол между f1 и f2 равен α, т.к. при инверсии углы сохраняются, то угол между прямыми, в которые перешли f1 и f2 также равен α. Тогда (2* α)*3=360, отсюда α =60 градусов. Аналогично получаем, что угол между f2 и f3 и между f3 и f1 равен 60 градусам. Покажем теперь, что все три окружности f1, f2, f3 – пересекаются в двух точках P и Q (т.е. лежат в одном пучке). Мы уже доказали, что h(X)=f1(f2(f3(X)))=f2(X) т.е. что композиция трех инверсий – снова инверсия. Это возможно, только если эти инверсии – из одного пучка (за исключением случая, когда все три инверсии ортогональны друг другу) (Доказательство этого свойства композиций трех инверсий будет дано в следующих статьях). Значит f1, f2, f3 – все проходят через две точки P и Q и образуют друг с другом углы в 60 градусов. Теперь, когда мы определили основные геометрические свойства инверсий f1, f2, f3 нарисуем их.

Рисунок 22.

(Три окружности f1, f2, f3, две их точки пересечения P и Q, касательные к этим окружностям в точке Р. Касательные образуют друг с другом углы в 60 градусов)

Вернемся к исходным точкам А, В, С. Как, зная их, построить окружности f1, f2, f3?

Рисунок 23.

(f1 проходит через С и лежит в мнимом пучке с центрами А и В. f2 проходит через В и лежит в мнимом пучке с центрами А и С. f3 проходит через А и лежит в мнимом пучке с центрами В и С).

Центр f1 лежит на прямой (А, В). Обозначим его О. можно написать уравнение, связывающее расстояния: |O, A|*|O, B|=R*R=|O, C|*|O, C| (где R – радиус инверсии f1). Исходя из него, нетрудно найти O. можно же построить окружность f1 не находя ее центр. Т.к. f1 лежит во мнимом пучке с центрами А и В, то f1 ортогональна всем окружностям, проходящим через А и В. проведем две любые такие окружности и инвертируем точку С относительно них, окружность, проведенная через С и две полученные точки – будет ортогональна двум окружностям, проходящим через А и В, и, следовательно – лежат в мнимом пучке с центрами А и В (см. ст. 2 о пучках). Совершенно аналогично поступаем, чтобы найти окружности f2 и f3.

Теперь покажем, как находить образы точек при инверсии f1. Используем, как обычно, идеи теоремы о пучках ст. 2.

Рисунок 24.

(Окружность О, проходящая через точки А, В, С. Точка Х вне этой окружности. Окружность, проходящая через Х и А, В и окружность, проходящая через Х и касающаяся О в точке С. Вторая точка пересечения двух этих проходящих через Х окружностей. Окружность, проходящая через Х и В, С и окружность, проходящая через Х и касающаяся О в точке А. Вторая точка пересечения двух этих проходящих через Х окружностей. Окружность, проходящая через Х и А, С и окружность, проходящая через Х и касающаяся О в точке В. Вторая точка пересечения двух этих проходящих через Х окружностей.)

Чтобы построить образ точки Х при инверсии f1, как и обычно мы построим две окружности, переходящие в себя при инверсии f1 и проходящие через Х. Тогда вторая точка пересечения этих окружностей и будет f1(X). Окружность, проходящая через Х, А и В и будет ортогональна f1, т.к. f1(A)=B. Докажем, что окружность, касающаяся окружности О (проходящей через А, В, С) в точке С – также ортогональна f1. Обозначим эту окружность H. Окружность О – проходит через А и В и потому ортогональна f1. f1(C)=C, следовательно С лежит на f1. H, f1 и О все проходят через С и по условию H и О касаются друг друга. Следовательно f1 образует в точке С одинаковый угол с О и H. Т.к. угол с О – прямой, следовательно, угол между f1 и H – также прямой.

Рисунок 25.

(Окружность f1 пересекающая окружность О в точке С. Касающаяся О в точке С окружность Н).

Значит f1(H)=H, что и требовалось доказать. Значит, вторая точка пересечения H с окружностью, проходящей через А, В, Х и будет искомой f1(X). аналогично находим f2(X) и f3(X). Это и изображено на рис. 24. Если прилежно выполнить построения например для утверждения (f1*f2)³=e (т.е. f1(f2(f1(f2(f1(f2(X))))))=X), то может получиться красивая иллюстрация, напоминающая восточные рисунки.

Сейчас я подытожу рассмотрение тройственной симметрии в таком виде:

Пусть даны три произвольные точки А, В, С, окружность f1 проходит через С и f1(A)=B, окружность f2 через В и f2(A)=C, окружность f3 через А и f3(В)=С. Тогда f1, f2. f3 все пересекаются в двух точках и образуют между собой углы в 60 градусов. Или так: Через каждую из трех точек проведена окружность, сопрягающая две оставшиеся. Три полученные окружности пересекаются в двух точках и образуют углы между собой в 60 градусов. Заметим еще, что точки пересечения этих трех окружностей, P и Q – симметричны относительно О, проходящей через исходные точки А, В, С (т.к. эта окружность ортогональна f1, f2, f3). Четверки точек А, В, С, Р или А, В, С, Q обладают рядом интересных свойств, которые я надеюсь рассмотреть в других статьях.

Прежде чем перейти к следующей теме, докажем простую теорему. При инверсии окружности переходят в окружности. Определим инверсию через пары сопряженных точек (так мы обычно и поступаем, начиная со ст. 2) и получим новую теорему о семи окружностях.

Рисунок 26.

(Точки А, В, С, D лежащие на одной окружности. Точка S вне этой окружности и две окружности, проходящие через нее и В и D она и А и С – другая, вторая точка пересечения этих окружностей Т. Точка P и две окружности, проходящие через нее и В и D она и А и С – другая, вторая точка пересечения этих окружностей Q.)

Теорема утверждает, что если P, S, A, B – на одной окружности, то и C, D, T, Q – на одной окружности. Для доказательства достаточно указать, что при инверсии I, такой что I(A)=C, I(B)=D (такая инверсия существует, как показано в ст. 2) I(P)=Q, I(S)=T, Если прообразы P, S, A, B – лежат на одной окружности, то их образы I(A)=C, I(B)=D, I(P)=Q, I(S)=T – также лежат на одной окружности. что и требовалось.