Моделирование проективной плоскости. А-отображения.

Уже когда в ст. 2 мы доказывали теорему о пучках, то воспользовались тем, что окружность на сфере – лежит в некоторой плоскости и свойства пересечений окружностей на сфере можно соотнести со свойствами пересечений прямых и плоскостей в пространстве. То есть – с проективным пространством. В этой статье мы систематически покажем связь между проективной геометрией: геометрией прямых, точек и плоскостей с геометрией окружности. Начнем с плоского случая.

Рассмотрим произвольную окружность О и совокупность ортогональных к ней окружностей. Каждой точке плоскости (кроме лежащей на самой окружности О) соответствует одна и только одна инверсия, ортогональная О.

Рисунок 1.

(Окружность О и ортогональная ей окружность I, центра окружности I – точка А. Две касательные прямые из А к О, касающиеся О в точках P и Q, две секущие из А к О. Одна секущая пересекает О в точках D и F, другая – в точках В и С)

В самом деле, пусть А произвольная точка вне О – центр некоторой окружности I, ортогональной О. Тогда в А, по определению инверсии, пересекаются все прямые, проходящие через образ и прообраз точки (под действием этой инверсии). По теореме о секущих из точки А (мы пользовались ею, напр., доказывая теорему о пучках)

|A, A(B)|*|A, B|=|A, D|*|A, A(D)|=|A, A(P)|*|A, P|=|A, P|²

Здесь через А(В) обознается образ точки В при инверсии относительно окружности I (с центром в А и ортогональной к О). Р – точка касания прямой проходящей через А с О, поэтому А(Р)=Р, радиус инверсии равен |A, P|. Эта инверсия действует на всю плоскость, но нам ближайшем будущем будет важно только ее действие на окружность О. Также на ближайшее время мы можем забыть про окружность I. Нам будет важна лишь точка А – центр инверсии. Ведь точка А полностью задает отображение окружности О в себя. Чтобы найти образ произвольной точки Х, лежащей на О при этом отображении надо:

1. Провести прямую (А, Х).

2. Найти вторую точку пересечения (А, Х) и О (первая точка пересечения – Х).

3. Эта точка и будет образом точки Х при отображении, заданном точкой А.

Назовем это отображение – «А-отображением окружности в себя». Точку, определяющую отображение назовем «центром отображения». Если (А, Х) касается О, то мы определяем, что А(Х)=Х, Х – неподвижная точка при А-отображении. А-отображение окружности О в себя можно продолжить на всю плоскость и это будет инверсия относительно окружности I. Но, как было сказано, пока мы интересуемся как действует А-отображение на окружность О.

Заметим еще, что если Р и Q неподвижные точки А-отображения, то любая пара точек Х и А(Х) гармонически разделяет пару Р и Q. (Понятие гармонического отношения играет важнейшую роль в проективной геометрии, но в этой статье я не буду его исследовать).

Если точка А лежит внутри окружности О, то точки пересечения любой прямой, проходящей через А с окружностью О лежат по разные стороны от А. Поэтому А определяет мнимую инверсию.

Рисунок 2.

(Окружность О, точка А внутри нее, диаметр О, на котором лежит А, перпендикуляр из А к этому диаметру, точки пересечения этого перпендикуляра с О – Х и A(X). Две секущие из А одна пересекает О в точках Z и A(Z), другая в точках Y и А(Y))

По теореме о хордах: |A, Z|*|A, A(Z)|=|A, Y|*|A, A(Y)|=A, X|*|A*, A(X)|. Это задает мнимую инверсию с центром в А. Как и должно быть при мнимой инверсии – неподвижных точек нет, т.к. если А лежит внутри О, то невозможно провести из А прямую, касающуюся О. Радиус инверсии R равен корню квадратному из указанного произведения. Геометрически его можно найти из того, что R=|A, X|, если |A, X|=|A, A(X)|. А это равенство достигается, если отрезок [X, A(X)] – перпендикулярен диаметру О проходящему через А, как это и изображено на рис. 2. пять-таки, мы будем рассматривать действие этой мнимой инверсии только на окружность О, а действие ее на остальные точки плоскости нам пока будет не интересно.

Итак, мы видим, что всякая точка плоскости, не лежащая на окружности О задает одну и только одну инверсию плоскости, при которой окружность О переходит в себя. Если А вне окружности – это обычная действительная инверсия, если внутри – мнимая. при изучении действия этих инверсий на О можно пользоваться описанными выше А-отображениями (образ точки Х на окружности О есть вторая точка пересечения прямой (А, Х) с О). Тривиально доказывается, что А(А(Х))=Х (иначе говоря, А(Х) – инволютивное отображение).

Пусть А – вне окружности. (Рис. 1). В этом случае у А-отображения есть две неподвижные точки Р и Q. Заметим, что А-отображение как бы выворачивает наизнанку окружность О, меняя местами две дуги, на которые разделили окружность точки Р и Q. Это напоминает, как инверсия на плоскости меняет местами внутренность и внешность неподвижной окружности инверсии. Мы можем еще сказать, что пара точек Р и Q окружности О задает инволютивное отображение (или симметрию) окружности О в себя.. Нужно провести касательные к О и найти их точку пересечения между собой. Эта точка и задаст требуемое А-отображение окружности. Заметим, что для определения этого отображения нам пришлось «выйти за пределы» окружности О.

Указанный прием не работает в одном случае. Если точки Р и Q – диаметрально противоположные точки на окружности О. Тогда касательные в этих точках будут параллельны друг другу и не пересекутся на евклидовой плоскости.

Рисунок 3.

(Окружность О, диаметрально противоположные точки на ней P и Q, касательные к О в этих точках, прямая (P, Q), точки на О: Х, Y, Z, I(X), I(Y), I(Z) такие, что прямые (X, I(X)), (Y, I(Y)), (Z, I(Z)) – все параллельны друг другу и указанным касательным к О)

Чтобы догадаться, какое отображение О в себя задают точки Р и Q можно вспомнить, что мы говорили про ортогональные к О окружности. Окружность, ортогональная к О и проходящая через пару диаметрально противоположных точек на О – прямая. (Как было сказано, прямая, это окружность с бесконечно удаленным центром.) проведем эту прямую I. Симметрия относительно этой прямой переводит окружность О в себя, оставляя точки Р и Q неподвижными. Мы видим, что каждая пара точек на окружности О задает «инверсию» или симметрию этой окружности. Заметим сходство с объемным случаем. Окружность на сфере задает инверсию сферы, при этом окружность лежит на некоей плоскости, секущей сферу; пара точек на окружности задает инверсию окружности, причем пара точек, разумеется, лежит на некоей прямой, секущей сферу.

Симметрию относительно прямой, проходящей через центр окружности О как частный случай А-отображений можно получить с помощью ПРЕДЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА.

Рисунок 4.

(Окружность О, ее центр Е, диаметрально противоположные точки Р и Q, прямая (Е, А), ортогональная прямой (Р, Q) точки А, А1, А2 на этой прямой, касательные к О, проведенные из этих точек, точки касания.)

Пусть точка А удаляется от окружности О по прямой (А, Е), проходя через точки А1, А2… Мы видим, что касательные к О, проходящие через точки А, А1, А2 – касаются О в точках, все ближе расположенных к P и Q, где Р и Q – концы диаметра, перпендикулярного к (А, Е). А отображения: А(Х), А1(Х), А2(Х) все более напоминают симметрию относительно прямой (Р, Q). Секущие же из точек А, А1, А2 – все более приближаются к параллельным к прямой (А, Е).

Пусть теперь какая-нибудь точка В двигается по прямой, параллельной (А, Е) в ту же сторону, что и А.

Рисунок 5.

(Окружность О, ее центр Е, диаметрально противоположные точки Р и Q, прямая (Е, А), ортогональная прямой (Р, Q) точки В, В1, В2 на прямой, параллельной (Е, А), касательные к О, проведенные из этих точек, точки касания.)

Мы видим, что неподвижные точки отображений В(Х), В1(Х), В2(Х) – приближаются к точкам P и Q, а сами отображения все более напоминают симметрию относительно прямой (Р, Q), а секущие, проходящие через В, В1, В2 все ближе к параллельным к (А, Е) прямым (угол между секущими уменьшается). Это аналогично тому, как изменяется угол падающих лучей при удалении источника света. Заметим еще, что если точка С расположена на прямой (А, Е) по другую сторону от О чем точка А и удаляется все далее от О, то с удалением С С(Х) опять-таки приближается к симметрии относительно прямой (Р, Q).

Рисунок 6.

(Окружность О, диаметрально противоположные точки Р и Q, точка А, точка С на другой стороне от О).

Симметрии окружности О относительно прямых, проходящих через ее центр – мы также будем называть А-отображениями, имея в виду, что их центр – бесконечно удален от А, совпадая с точкой пересечения касательных к О в диаметрально противоположных точках. Каждому «направлению удаления от О» отвечает перпендикулярная ему прямая, проходящая через центр окружности О.