Пример 5.

Груз массой m = 20 кг (рис.7) движется вниз по наклонной плоскости, проходит путь S = 12 м за время t = 2 с. Считая движение груза равноускоренным с начальной скоростью v_o = 0 м/с, определить величину силы Т, если коэффициент трения равен f = 0, 3.

Решение: из уравнения равноускоренного движения находим ускорение груза:

На груз действуют следующие силы:

G = m · g – сила тяжести груза;

N – реакция плоскости;

F_тр = f · N – сила трения;

Т – действующая сила.

Приложим к этим силам силу инерции F_ин = m · ɑ, направленную противоположно ускорению ɑ. Пользуясь принципом Даламберо (методом кинетостатики), считаем силы, действующие на груз, взаимно уравновешенными. Для полученной сходящейся системы сил составляем уравнение равновесия:

Ʃ F_RX = T · cos 15^o + G · sin 30^o – F_тр – F_ин = 0; (1)

Ʃ F_RУ = Т · sin 15^o + G · cos 30^o + N = 0; (2)

Из уравнения (2) находим реакцию N: N = - T · sin 15^o + G · cos 30^o; F_тр = f · N.

Подставляем это выражение в уравнение (1)

T · cos 15^o + G · sin 30^o + f · T · sin 15^o – f · G · cos 30^o – F_ин = 0.

Учитывая, что G = mg, получим

T · cos 15^o + mg · sin 30^o + f · T · sin 15^o – f · mg · cos 30^o – ma = 0;

T · (cos 15^o + f · sin 15^o) = ma + f · mg · cos 30^o – mg · sin 30^o.

Отсюда находим, что

Подставляя числовые данные, считая g = 10 м/с².

Ответ: сила Т = 68, 9 Н.

Пример 1 (для контрольной работы № 2).

Для данного ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Определить абсолютное удлинение (укорочение) бруса (рис.8)

Дано: F₁ = 28 кН; F₂ = 64 кН; 1₁ = 2, 4 м; 1₂ = 2, 2 м; 1₃ = 2, 0 м; А = 3, 2 см²; Е = 2, 1 х 10⁵ Па.

Решение:

Проводим ось Z в сторону свободного конца бруса и определяем реакцию заделки V.

Ʃ F_RZ = F₁ – F₂ + V = 0; V = - F₁ + F₂ = - 28 + 64 = 36 кН.

Разбиваем груз на участки, границы которых определяются сечениями, где изменяется площадь поперечного сечения или приложены внешние силы. На каждом из участков проводим характерные сечения 1-1; 2-2; 3-3. С помощью метода сечений определяем продольные силы на каждом из участков бруса: мысленно рассекаем брус в пределах первого участка сечением 1-1, отбрасываем верхнюю часть бруса и заменяем ее действие продольной силой N₁ (рис.7), для оставшейся части составляем уравнение равновесия:

Ʃ F_RZ = F₁ – N₁ = 0; Т₁ = А₁ = 28 кН.

Аналогично находим и сечение 2-2 (рис.8)

Ʃ F_RZ = F₁ – N₂ = 0; N₂ = F₁ = 28 кН.

сечение 3-3 (рис.8)

Ʃ F_RZ = F₁ – F₂ – N₃ = 0; N₃ = F₁ – F₂ = 28 – 64 = - 36 кН.

По найденным значениям продольной силы строим соответствующую эпюру. Для этого параллельно оси бруса проведем базовую (нулевую) линию. Левее ее откладываем отрицательные значения, соответствующие сжатому участку, а правее – положительные напряжения в характерных сечениях бруса по формуле:

Строим соответствующую найденным значениям эпюру (рис.8).

Определяем абсолютное удлинение бруса.

Где Е = 2, 1 · 10⁵ МПа – модель продольной упругости для стали.

Складывая удлинения участков, получим:

Учитывая, что 1 м = 10³ мм, будем иметь:

Абсолютное удлинение бруса Δ 1 = 0, 39 мм.

Пример 2 (для контрольной работы № 2).

Для двутавровой балки построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М. Подобрать сечение стального двутавра, приняв σ _у = 160 МПа.

Дано: F₁ = 24 кН; F₂ = 36 кН; 1₁ = 2, 0 м; 1₂ = 3, 0 м; 1₃ = 3 м; m₁ = 18 кН· м; m₂ = 24кН· м.

Решение. Составляем уравнения равновесия параллельной системы сил, из которых определяем опорные реакции балки.

_

Ʃ М_А (F_R) = F₁ 2, 0 + m₁ + F₂ 3, 0 – m₂ – V_B 6, 0 = 0; (1)

_

Ʃ М_B (F_R) = F₁ 8, 0 + m₁ + V_A 6, 0 – F₂ 3, 0 – m₂ = 0; (2)

Из уравнения (2) находим V_A:

Из уравнения (1) находим V_B:

Проверяем правильность определения опорных реакций, составляя сумму проекций всех сил на ось У

Ʃ F_RУ = F₁ + V_A – F₂ + V_B = 24 – 13 – 36 + 25 = 0, т.е. реакции определены верно.

Определяем значения поперечной силы Q в характерных сечениях балки, которые обозначим цифрами 1, 2, 3, 4 (рис.9а).

Q₁ = Q₂^лев = F₁ = 24 кН;

Q₂^прав = Q₃ = F₁ – V_A = 24 – 13 = 11 кН;

Q₃^прав = Q_н^тв = F₁ + V_A – F₂ – V_B = - 25 кН;

Q₄^прав = F₁ + V_A – F₂ + V_B = 0.

По найденным значениям строим эпюру поперечных сил Q (рис.9б). определяем значения изгибающего момента М в характерных сечениях балки:

М₁ = 0;

М₂^лев = F₁ · 20 = 48 кН · м;

М₂^прав = М₂^тв + m₁ = 48 + 18 = 66 кН · м;

М₃ = F₁ · 5, 0 + m₁ + V_A · 3, 0 = 120 + 18 – 39 = 99 кН · м;

М₄^прав = m₂ = 24 кН · м;

М₄^прав = 0.

По найденным значениям строим опору изгибающих моментов М (рис.10). по эпюре изгибающих моментов положение опасного сечения балки (сечения, в котором изгибающий момент имеет наибольшее значение по абсолютной величине).

В нашем случае это сечение 3, где

М₃ = М_max = 99 кН · м.

осевой момент сопротивления:

В соответствии с ГОСТ 8239 – 72 принимаем сечение из стального двутавра № 33 с W_x = 597 см².

Имеем напряжение:

Что находится в разрешенных пределах (менее 5 %).

Ответ: сечение балки – двутавр № 33.