Приведение матрицы данных к ступенчато - диагональному виду

Вспомним одно из основных положений теории вероятностей. Независимость двух событий означает, что вероятность наступления обоих событий вместе равна произведению вероятностей наступления каждого из них в отдельности. Учитывая это, нетрудно видеть, что в нашем случае независимость двух признаков с номерами i и j означает, что

(7.2)

Однако в действительности, если предположить, что признаки упорядочены в нашем смысле (и i < j), то окажется, что р_ij = p_iр_j (для нашего примера со шкалой Богардуса - вероятность того, что респондент согласен допустить рассматриваемого человека одновременно и в качестве соседа, и в качестве согражданина, равна вероятности того, что он допустит этого человека в качестве соседа, поскольку второе требование само собой будет выполнено). Поскольку соотношение (7.2) не выполняется, то признаки зависимы.

Если же взять только тех людей, которые имеют одно и то же значение латентной переменной, то, как нетрудно проверить, для них однозначно восстанавливается картина их ответов на рассматриваемые вопросы: скажем, балл 5 респондент может иметь только в том случае, если он дал положительные ответы на последние 5 вопросов. Другими словами, респонденты с одним и тем же значением латентной переменной имеют одни и те же значения рассматриваемых признаков. Ни о какой связи тут говорить не приходится.

Гуттман предложил простой алгоритм, позволяющий либо привести матрицу к диагональному виду, либо показать, что это сделать в принципе невозможно. Прежде чем описать этот алгоритм, заметим, что мы должны учитывать еще одно обстоятельство.

Выше в действительности был описан некий идеальный случай. Мы уже говорили, что в социологии практически никакая теоретическая схема никогда не проходит в совершенно " чистом" виде, никакая гипотеза не может стопроцентно выполняться, никакие данные не бывают без ошибок. И всегда встает вопрос, в каких пределах эти ошибки допустимы.

В нашем случае это означает, что даже при самом тщательном подборе суждений всегда найдутся респонденты, для которых они не будут упорядочены предполагаемым нами образом (в подтверждение того, что ошибки всегда будут, напомним, как уже мы говорили, что человек, ответивший положительно на третий вопрос, почти наверняка, но не наверняка (!) даст положительный ответ на четвертый и пятый). То есть наша матрица хотя бы в малой мере, но практически всегда не будет точно диагональной. Необходимо, как всегда в подобных случаях, установить предел допустимых ошибок (напомним, что мы так же поступили, например, когда говорили о возможных нарушениях транзитивности в матрицах парных сравнений). В ситуации, когда этот предел не будет превышен, считать, что матрица диагональна, и, следовательно, наши условия, обеспечивающие возможность использования тестовой традиции, выполняются. Если ошибки превысят допустимый предел, то будем полагать, что матрицу нельзя привести к диагональному виду и, стало быть, нельзя описанным образом измерять латентную переменную.

Ошибки будут проявляться в том, что даже в самом хорошем варианте у нас в области плюсов будут одиночные минусы, и наоборот. Оценим количество таких смещений. Их ниже мы и называем ошибками. Введем критерий:

R = 1 - (количество ошибок)/(количество клеток в таблице).

Будем полагать, что мы привели матрицу к диагональному виду, если R> 0, 9. Теперь на примере покажем, в чем состоит алгоритм Гуттмана и как можно оценить качество его работы.

Итак, пусть исходная матрица данных имеет вид (табл. 7.4).

Таблица 7.4. Фрагмент гипотетической матрицы данных,