Арифметическая середина.

Если имеется ряд результатов равноточных измерений l1; l2; …; ln одной

и той же величины, то за окончательное значение принимают среднюю

арифметическую величину L из всех результатов.

Если истинное значение измеряемой величины х, то абсолютные

ошибки будут равны:

Из суммы равенств получим, что

В соответствии со свойством случайных ошибок, с увеличением

числа измерений величина

Следовательно, при бесконечно большом числе измерений, среднее

арифметическое L будет стремитья к истинному значению измеряемой

величины х.

Величина

при конечном числе измерений будет вероятнейшим значением определяемой величины, называемой арифметической серединой. Разность между результатом измерения и средним арифметическим называют уклонением от арифметической середины или вероятнейшими ошибками υ, т.е. l1 - L = υ 1.

Сумма вероятнейших ошибок равняется нулю 0, если величина среднего арифметического не имела округлений.

В топографии и геодезии в качестве критериев точности измерений в основном применяют среднюю квадратическую ошибку и относительную ошибку.

Среднюю квадратическую ошибку отдельного результата измерения m вычисляют по формуле Гаусса:

Формулу Гаусса можно использовать, когда известно истинное

значение измеренной величины, а для оценки точности величин, истинное значение которых неизвестно, применяется формула Бесселя, где υ – вероятнейшая ошибка.

Среднюю квадратическую ошибку арифметической середины М выражают через среднюю квадратическую ошибку m отдельного измерения, т.е.

Таким образом, средняя квадратическая ошибка арифметической середины из результатов равноточных измерений в n раз меньше средней квадратической ошибки результата отдельного измерения. Для уменьшения ошибки измерения, например, в 2 раза, количество измерений необходимо увеличить в 4 раза.

Применительно к конкретным условиям указывают критерий отбраковки результатов измерений. В качестве такого критерия служит предельная ошибка. Для наиболее значимых измерений применяются повышенные требования к точности и величину предельной ошибки принимают равной 2m, т.е. Δ пр.= 2m (удвоенное значение средней квадратической ошибки. Для менее значимых измерений принимается величина предельной ошибки равная 3m, т.е. Δ пр.= 3m (утроенное значение средней квадратической ошибки).

Для суждения о точности многих измерений недостаточно определения

величины абсолютной ошибки, необходимо еще знать значение самой

измеряемой величины. Так, для получения представления о точности

линейных, площадных и других измерений применяется относительная

ошибка.

Относительная ошибка – это отвлеченное число, выражающее отношение абсолютной ошибки к результату измерения. Относительнуюошибку принято выражать простой дробью, числитель которой равен единице.

Значение знаменателя принято округлять до двух значимых цифр. Чем

больше знаменатель, тем выше точность выполненных работ.

Рассмотрим пример. Измерены две линии: одна длиной 220 м со средней квадратической ошибкой 0, 17 м, другая – длиной 390 м сосредней квадратической ошибкой 0, 23 м, т.е. L 1 = 220 м, m 1= 0, 17 м, L 2

= 390 м, m 2= 0, 23 м. Какая из линий измерена точнее? Подставив результаты измерений и вычислений в вышеприведенныеформулы, получим, что относительная ошибка в первом случае будет равна, а во втором -. Следовательно вторая линия измерена точнее, несмотря на большую величину абсолютной ошибки. надежнее результат.