Аналитический метод. Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов

Нанесение экспериментальных точек и проведение по ним графика «на глаз», а также определение по графику абсцисс и ординат точек, не отличаются высокой точностью. Её можно повысить, если использовать аналитический метод. Математическое правило построения графика заключается в подборе таких значений параметров «а» и «в» в линейной зависимости вида у = ах + b, чтобы сумма квадратов отклонений Dу_i (рис. 5) всех экспериментальных точек от линии графика была наименьшей (метод «наименьших квадратов»), т.е. чтобы величина

Рис. 5

(1)

имела минимум. Здесь x_i и y_i - значения величин х и у в i -том измерении, n - количество измерений. Величина S будет минимальной, если её частные производные по параметрам а и b будут равны нулю:

(2)

Отсюда наилучшие значения параметров «а» и «b» равны:

(3)

где средние значения , .

Введем обозначения

и (4)

Абсолютные случайные погрешности Dа_сл и Db_сл определяются по формулам:

и (5)

где t_{p, n-2} - коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности P и (n-2) измерений. При P = 0, 95 и n ~ 12-15 коэффициент t_{p, n-2} = 2, 25, а при P = 0, 997 и тех же значениях n коэффициент t_{p, n-2} = 3, 25.