Проверка качества уравнения регрессии. F-критерий Фишера

Как и в случае парной регрессии для оценки качества полученного множественной уравнения регрессии (3) можно использовать коэффициент детерминации, представляющий собой отношение объясненной части D(ŷ) дисперсии переменной у ко всей дисперсии D(y)

или , (21) где

.

Коэффициент детерминации R² принимает значения в диапазоне от нуля до единицы 0 ≤ R2 ≤ 1 и показывает, какая часть дисперсии результативного признака y объяснена уравнением регрессии. Чем выше значение R², тем лучше данная модель согласуется с данными наблюдений.

Оценка статистической значимости уравнения регрессии (а также коэффициента детерминации R²) осуществляется с помощью F-критерия Фишера

, (22) где p - число независимых переменных в уравнении регрессии (3).

Согласно F-критерию Фишера, выдвигаемая «нулевая» гипотеза H0 о статистической незначимости уравнения регрессии отвергается при выполнении условия F > F_крит, где F_крит определяется по таблицам F-критерия Фишера по двум степеням свободы k₁ = p, k₂ = n - p - 1 и заданному уровню значимости α.

Для оценки тесноты связи факторов с исследуемым признаком, задаваемой построенным уравнением регрессии используется коэффициент множественной корреляции R

(23)

Коэффициент множественной корреляции R принимает значения в диапазоне 0 ≤ R ≤ 1.

Чем ближе величина R к единице, тем теснее данная связь, тем лучше зависимость согласуется с данными наблюдений. При R = 1 (R² = 1) связь становится функциональной, т. е. соотношение точно выполняется для всех наблюдений.

Коэффициент множественной корреляции может использоваться как характеристика качества построенного уравнения регрессии , точности построенной модели.

Величина коэффициента множественной корреляции не может быть меньше максимального парного индекса корреляции .

В случае линейной зависимости (3) коэффициент корреляции R связан с парными коэффициентами корреляции соотношением

, (24) где b i – стандартизованные коэффициенты регрессии (13).

Использование коэффициента множественной детерминации R² для оценки качества модели, обладает тем недостатком, что включение в модель нового фактора (даже несущественного) автоматически увеличивает величину R². Поэтому при большом количестве факторов предпочтительнее использовать, так называемый, скорректированный, улучшенный (adjusted) коэффициент множественной детерминации , определяемый соотношением

, (25) где p – число факторов в уравнении регрессии, n – число наблюдений. Чем больше величина p, тем сильнее различия и R².

При использовании для оценки целесообразности включения фактора в уравнение регрессии следует однако учитывать, что увеличение при включении нового фактора не обязательно свидетельствует о его значимости, так как значение увеличивается всегда, когда t-статистика больше единицы (|t|> 1).

При заданном объеме наблюдений и при прочих равных условиях с увеличением числа независимых переменных (параметров) скорректированный коэффициент множественной детерминации убывает. При небольшом числе наблюдений скорректированная величина коэффициента множественной детерминации R² имеет тенденцию переоценивать долю вариации результативного признака, связанную с влиянием факторов, включенных в регрессионную модель.

Отметим, что низкое значение коэффициента множественной корреляции и коэффициента множественной детерминации R² может быть обусловлено следующими причинами:

– в регрессионную модель не включены существенные факторы;

– неверно выбрана форма аналитической зависимости, не отражающая реальные соотношения между переменными, включенными в модель.