Преобразование масштабирования

Вернемся к общей схеме преобразования и рассмотрим ряд частных случаев преобразования и их геометрический смысл.

Положим c=b =0, a¹ 0 и d ¹ 0, тогда

Р*М =[x y] [(ax+0y) (0x+dy)] =[(ax) (dy)]= [x’ y’]

Таким образом

x’= ax

y’= dy

Следовательно, мы получили преобразование масштабирования. Коэффициенты a и d являются масштабирующими коэффициентами по осям x и y. Обычно их обозначают Sx и Sy, а соответствующая матрица носит название матрицы масштабирования.

S =

Если 0 < Sx = Sy < 1 имеет место сжатие, в противном случае при Sx = Sy > 1 будет иметь место расширение. Примеры масштабирования приведения на рис. 2.1. Обратите внимание, что при масштабировании геометрических объектов происходит не только изменение их размеров, но и смещение относительно начала координат.

Начало координат остается инвариантным как к преобразованию масштабирования, так и к другим преобразованиям, выполняемым по рассматриваемой схеме. В этом легко убедится:

[0 0] [(a*0+0*0) (0*0+d*0)] =[(0) (0)]= [0 0]

Если Sx ¹ Sy, то координаты масштабируются различным образом, и происходит искажение пропорций объектов как это видно на рисунке 2.2.

Для обращения преобразования необходимо произвести масштабирование с коэффициентами, обратными заданным. Обратная матрица представляется следующим образом: S^-1 =

Интересный эффект возникает при разрешении отрицательных значений коэффициентов в матрице масштабирования. В этом случае, наряду с масштабированием происходит отображение объектов относительно различных осей. Положим Sx = -2, а Sy = 1.

S= x’= -2*x y’= 1*y

Очевидно, что координата y останется неизменной, а координата x увеличится вдовое и поменяет свой знак, т.е. наряду с масштабированием произойдет отображение относительно оси y.

При единичных величинах коэффициентов масштабирования не будет, а знаки будут определять оси отображения. Матрица определит отображение относительно оси х, а матрица - отображение относительно оси y. Результаты подобных преобразований показаны на рис 2.4.

Если отклониться от условий масштабирования, положив = =1 и a=d=0, тогда

преобразование [x y] [(0x+1y) (1x+0y)] =[(y) (x)]= [x’ y’] приведет к перестановке координат x’= y, y’= x, что геометрически можно представить как отражение относительно прямой x=y, делящей первый квадрант на октанты. Преобразование приводит к отображению относительно прямой y = -x. Примеры преобразований показаны на рис 2.5.