Примеры решения задач

Пример 1. Два параллельных бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I=60A, расположены на расстоянии d=10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис.1), отстоящей от оси одного проводника на расстоянии r₁=5 cм, от другого - r₂=12 cм.

Рис.1

Решение: Для нахождения магнитной индукции В в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направления магнитных индукций В₁ и В₂ полей, создаваемых каждым проводником с током в отдельности, и сложим их векторно:

.

Модуль вектора может быть найден по теореме косинусов:

, (1)

где a - угол между векторами и .

Магнитные индукции и выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁ и r₂ от проводов до точки А:

; .

Подставляя выражения В₁ и В₂ в формулу (1) и вынося за знак корня, получаем

. (2)

Вычислим cos a. Заметив, что a=Ð DCA (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов запишем

,

где d - расстояние между проводами. Отсюда

; .

Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

Пример 2. По тонкому проводящему кольцу радиусом R =10 см течет ток I =80 А. Найти магнитную индукцию в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r =20 см.

Решение: Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа:

,

где - магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока в точке, определяемой радиусом-вектором .

Выделим на кольце элемент и от него в точку А проведем радиус-вектор (рис.2). Вектор направим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция в точке А определяется интегрированием:

,

где интегрирование ведется по всем элементам dl кольца.

Разложим вектор на две составляющие: , перпендикулярную плоскости

кольца, и , параллельную плоскости кольца, т.е.

Тогда

Заметив, что из соображений симметрии и что векторы от различных элементов сонаправлены, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:

,

где и (поскольку перпендикулярен и, следовательно, sin a=1). Таким образом,

.

Рис.3.

После сокращения на 2p и замены cos b на R/r (рис.2) получим

или ,

где h – расстояние от плоскости кольца до точки А.

Проверим, дает ли правая часть равенства единицу магнитной индукции (Тл):

Здесь мы воспользовались определяющей формулой для магнитной индукции:

.

Тогда

.

Выразим все величины в единицах СИ и произведем вычисления:

или В=62, 8 мкТл.

Вектор направлен по оси кольца (пунктирная стрелка на рис) в соответствии с правилом буравчика.

Пример 3. Длинный провод с током I=50 A изогнут под углом a=2p/3. Определить магнитную индукцию В в точке А (рис.3). Расстояние d=5 см.

Решение: Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (рис.4). В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция В в точке А будет равна векторной сумме магнитных индукций и полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т.е. . Магнитная индукция В₂ равна нулю. Это следует из закона Био-Савара-Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси привода, dB = 0 ([ ] = 0).

Магнитную индукцию В₁ найдем, воспользовавшись соотношением (3), найденным в примере 1:

где r₀ - кратчайшее расстояние от провода 1 до точки А (рис.4).

В нашем случае a₁®0 (провод длинный), a₂ = a = 2p/3 (сos a₂ = =cos (2p/3) = -1/2). Расстояние r₀ = d sin (p-a) = d sin (p/3) = d . Тогда магнитная индукция

.

Рис.5.

Рис.4.

Так как B = B₁ (B₂ = 0), то

Вектор сонаправлен с вектором и определяется правилом правого винта. На рис.4 это направление отмечено крестиком в кружочке (перпендикулярно плоскости чертежа, от нас).

Проверка размерности аналогична выполненной в примере 2. Произведем вычисления:

.

Пример 4. Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым углом (рис.5). По проводам текут токи I₁ = 80 A и I₂ =60 A. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию в точке А, одинаково удаленной от обоих проводов.

Решение. В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция поля, создаваемого токами I₁ и I₂, определяется выражением , где - магнитная индукция поля, созданного в точке А током I₁; - магнитная индукция поля, созданного в точке А током I₂. Заметим, что векторы и взаимно перпендикулярны (их направления находятся по правилу буравчика и изображены в двух проекциях на рис.6). Тогда модуль вектора можно определить по теореме Пифагора:

где В₁ и В₂ определяются по формулам расчета магнитной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провода с током:

и

В нашем случае r₀ = d/2. Тогда

Проверка размерности аналогична выполненной в примере2. Произведем вычисления:

Рис.6

Пример 5. Бесконечно длинный провод изогнут так, как это изображено на рис. 7. Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого в точке О током I = 80 A, текущим по этому проводу.

Решение. Магнитную индукцию в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей: . В нашем случае провод можно разбить на три части (рис.8): два прямолинейных провода (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда

где - магнитные индукции в точке О, создаваемые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках провода.

Так как точка О лежит на оси провода 1, то В ₁ = 0 и тогда

Рис.7. Рис.8.

Учитывая, что векторы и направлены в соответствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, то векторное суммирование можно заменить алгебраическим:

В = В₂ + В₃

Магнитную индукцию В₂ найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока:

В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной такого кругового тока, поэтому

Магнитную индукцию найдем по формуле:

В нашем случае r₀ = R, a₁=p/a (cos a₁ = 0), a₂®p (cos a₂ = -1). Тогда

Используя найденные выражения для В₂ и В₃, получим

или

Проверка размерности аналогична выполненной в примере 2.

Произведем вычисления:

,

или

Пример 6. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0, 3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

Решение. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, когда частица влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции . Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору , то она сообщит частице (протону) нормальное ускорение а_n.

Согласно второму закону Ньютона,

(1)

где m - масса протона.

На рис. 9 совмещена траектория протона с плоскостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора . Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору к центру окружности (векторы и сонаправлены). Используя правило левой руки, определим направление линий индукции (направление вектора ).

		Q

Рис.9.

Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в проекции на радиус):

(2)

В скалярной форме F_Л = QvBsin a. В нашем случае ^ и sin a=1, тогда F_Л = QvB. Так как нормальное ускорение a_n = v²/R, то выражение (2) перепишем следующим образом:

Отсюда находим радиус окружности:

Заметив, что mv есть импульс протона (p), это выражение можно записать в виде

(3)

Импульс протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. А = DТ, или

где j₁ - j₂ - ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение U); Т ₁ и Т ₂ - начальная и конечная кинетические энергии протона.

Пренебрегая начальной кинетической энергией протона (Т ₁»0) и выразив кинетическую энергию Т ₂ через импульс p, получим

Найдем из этого выражения импульс и подставим его формулу (3):

,

или

(4)

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу длины (м):

.

Подставим в формулу (4) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

Пример 7. Электрон, влетев в однородное магнитное поле (В = 0, 2 Тл), стал двигаться по окружности радиуса R = 5 cм. Определить магнитный момент p_m эквивалентного кругового тока.

Решение. Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. На рис.10 линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости чертежа и направлены “от нас” (обозначены крестиками).

Рис.10.

Движение электрона по окружности эквивалентно круговому току, который в данном случае определяется выражением

где е - заряд электрона; Т - период его обращения.

Период обращения можно выразить через скорость электрона v и путь, проходимый электроном за период

T = (2pR/v). Тогда

(1)

Зная I _экв, найдем магнитный момент эквивалентного кругового тока. По определению, магнитный момент контура с током выражается соотношением

(2)

где S - площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном (S = pR ²).

Подставив I _экв из (1) в выражение (2), получим

Сократим на p R и перепишем это выражение в виде:

(3)

В полученном выражении известной является скорость электрона, которая связана с радиусом R окружности, по которой он движется, соотношением R = mv/(QB) (см. пример 6). Заменив Q на |е|, найдем интересующую нас скорость v = |e|BR/m и подставим ее в формулу (3):

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу измерения магнитного момента (А× м²):

Произведем вычисления:

Пример 8. Электрон движется в однородном магнитном поле (В = 10 мТл) по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h = 6 см. Определить период T обращения электрона и его скорость v.

Период обращения электрона связан с перпендикулярной составляющей скорости соотношением:

(1)

Найдем отношение R/v _^. Для этого воспользуемся тем, что сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение a_n = v_^² /R. Согласно второму закону Ньютона можно написать

,

или

(2)

где v_^ = v sin a.

Сократив (2) на v _^, выразим соотношение R/v _^ (R/v_^ = m/|e|B)и подставим его в формулу (1):

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу времени (с):

Произведем вычисления:

Модуль скорости v, как это видно из рис.11, можно выразить через v_^ и v_|| :

Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляющую скорости:

Параллельную составляющую скорости v _|| найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения T, электрон пройдет в направлении магнитного поля расстояние, равное шагу винтовой линии, т.е. h = Tv _||, откуда

v_|| = h/T

Подставив вместо Т правую часть выражения (2), получим

Таким образом, модуль скорости электрона

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу скорости (м/с). Для этого заметим, что R и h имеют одинаковую единицу измерения - метр (м). Поэтому в квадратных скобках мы поставим только одну из величин (например, R):

Произведем вычисления:

или 24, 6 Мм/с.

Пример 9. Рамка, содержащая N = 10³ витков, равномерно вращается с частотой n = 10 c^-1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной линиям однородного магнитного поля (В = 0, 04 Тл). Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость рамки составляет угол a= 60° с линиями поля. Площадь S рамки равна 100 см².

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции e_i определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла:

(1)

Потокосцепление Y = NФ, где N - число витков рамки, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражение Y в формулу (1), получим

(2)

Рис.12

При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающий рамку в момент времени t, изменяется по закону Ф = BS cos wt, где B - магнитная индукция; S - площадь рамки; w - угловая скорость рамки. Подставив в формулу (2) выражение магнитного потока Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

Заметив, что угловая скорость w cвязана с частотой вращения n рамки соотношением w = 2pn и что угол wt = p/2 - a (рис.11), получим (учтено, что sin (p/2-a) = cos a)

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу ЭДС (В):

Произведем вычисления:

Пример 10. Квадратная проволочная рамка со стороной а = 5 см и сопротивлением R = 10 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол a = 30° с линиями магнитной индукции. Определить заряд Q, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить.

Решение. При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет ЭДС индукции, определяемая основным законом электромагнитной индукции

Возникшая ЭДС индукции вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого можно определить воспользовавшись законом Ома для полной цепи I_i = e_i/R, где R - сопротивление рамки. Тогда

Так как мгновенное значение силы индукционного тока , то выражение можно переписать в виде

, откуда (1)

Проинтегрировав выражение (1), найдем

, или

Заметим, что при выключенном поле (конечное состояние) Ф ₂ = 0, последнее равенство перепишется в виде

(2)

Найдем магнитный поток Ф ₁. По определению магнитного потока имеем

Ф ₁ = ВS cos a

где S - площадь рамки.

В нашем случае (рамка квадратная) S = a ². Тогда

Ф₁ = Ва ²сos a(3)

Подставив (3) в (2), получим

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу заряда (Кл):

Произведем вычисления:

Пример 11. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 A, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) j=90°; 2)j=3°. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент силы.

М = p_mB sin j (1)

где p_m = IS = Ia ² - магнитный момент контура; B - магнитная индукция; j - угол между векторами (направлен по нормали к контуру) и .

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитное поле. При этом момент силы равен нулю (М = 0), а значит, j = 0, т.е. векторы и сонаправлены. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота j), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме dA = Мd j.Учитывая формулу (1), получаем

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

(2)

Работа при повороте на угол j₁ = 90°

(3)

Выразим числовые значения величин в единицах СИ (I = 100 A, B = 1Tl, a = 10 см = 0, 1 м) и подставим в (3):

A₁ = 100× 1× (0, 1)² Дж = 1 Дж

Работа при повороте на угол j₂ = 3°. В этом случае, учитывая, что угол j₂ мал, заменим в выражении (2) sin j»j:

(4)

Выразим угол j₂ в радианах. После подстановки числовых значений величин в (4) найдем

Задачу можно решить и другими способами:

1. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур:

А = -IDФ = I(Ф₁ - Ф₂)

где Ф ₁ - магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф ₂ - то же, после перемещения.

Если j = 90°, то Ф₁ = BS, Ф₂ = 0. Следовательно,

А = IBS = IBa ²

что совпадает с (3).

2. Воспользуемся выражением для механической потенциальной энергии контура с током в магнитном поле

П (j) = -p_mBcosj

Тогда работа внешних сил

А = DP = P₂ - P ₁ или А = p_mB (cosj₁ - cosj₂)

Так как p_m = Ia², cos j₁ = I и cos j₂ = 0, то

А = Iba²

что также совпадает с (3).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ