Дифференциальные уравнения

Правила и формулы дифференцирования

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Таблица интегралов

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

Дифференциальные уравнения

Вид ДУ	Название	Способ решения
ДУ первого порядка
	С разделенными переменными	Интегрирование обеих частей равенства
	С разделяющимися переменными	«Разделяй и интегрируй»
,	Однородное	Подстановка ,
	Линейное неоднородное	Метод Бернулли: ,
, ,	Уравнение Бернулли	Метод Бернулли: ,
,	В полных дифференциалах
ДУ, допускающие понижение порядка
	Не содержащее и	Двукратное интегрирование
	Не содержащее	Подстановка ,
	Не содержащее	Подстановка ,
ДУ второго порядка
	ЛОДУ с постоянными коэффициентами	С помощью характеристического уравнения : а) : ; б) : ; в) : ;
	ЛНДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида	I. II. число совпадений с корнями характеристического уравнения; ; ; ; - многочлены с неопределенными коэффициентами

Ряды

Эталонные ряды: 1) - ряд геометрической прогрессии;

расходится при ; сходится при и - сумма ряда.

2) - обобщенный гармонический ряд; расходится при ; сходится при .

Признаки сходимости знакоположительных рядов :

1) Первый признак сравнения. Если , то из сходимости ряда следует сходимость ряда ; из расходимости ряда следует сходимость ряда .

2) Второй (предельный) признак сравнения. Если , то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

3) Признак Даламбера. Если , то при:

а) - ряд расходится; б) - сходится; в) - признак не работает.

4) Радикальный признак Коши. Если , то при:

а) - ряд расходится; б) - сходится; в) - признак не работает.

5) Интегральный признак Коши. Пусть . Тогда ряд сходится, если сходится интеграл , и расходится в противном случае.

Признак Лейбница: Если , то сходится.

Степенные ряды: – сходится абсолютно при , - радиус; расходится при .

Ряд Тейлора:

Ряд Маклорена:

сходится при всех значениях х;

сходится при всех значениях х;

сходится при всех значениях х;

сходится при .