Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Свойства математического ожидания
|
|
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
M(C) = C.
Доказательство. Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение С и принимает его свероятностью р = 1. Следовательно,
M(С) = С*1 = С.
Замечание 1. Определим произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину X как дискретную случайную СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения X. Вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений X. Например, если вероятность возможного значения х1 равна р1, то вероятность того, что величина СХ примет значение Сх1 также равна р1.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(СХ) = СМ(Х).
Доказательство. Пусть случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:
| X | x1 | x2 | … | xn |
| p | p1 | p2 | … | pn |
Учитывая замечание 1, напишем закон распределения случайной величины СХ:
| CX | Cx1 | Cx2 | … | Cxn |
| p | p1 | p2 | … | pn |
Математическое ожидание случайной величины СХ равно:
М(СХ) = Cx1p1 + Cx2p2 +... + Cxnpn = С (x1P1 + x2p2 +... + xnpn) = СМ(X).
Итак,
М(СХ) = СМ(Х).
Замечание 2. Прежде чем перейти к следующему свойству, укажем, что две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Замечание 3. Определим произведение независимых случайных величин X и Y как случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение К; вероятности возможных значений произведения XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Например, если вероятность возможного значения x1 равна р1, вероятность возможного значения у1 равна g1, то вероятность возможного значения х1у1 равна p1g1.
Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
М(XY) = М(Х)*М(Y).
Доказательство. Пусть независимые случайные величины X и Y заданы своими законами распределения вероятностей:
| X | x1 | x2 | Y | y1 | y2 | |
| p | p1 | p2 | g | g1 | g2 |
Составим все значения, которые может принимать случайная величина XY. Для этого перемножим все возможные значения X на каждое возможное значение Y; в итоге получим х1у1, х2у1, х1у2 и х2у2. Учитывая замечание 3, напишем закон распределения XY, предполагая для простоты, что все возможные значения произведения различны:
| XY | x1y1 | x2y1 | x1y2 | x2y2 |
| pg | p1g1 | p2g1 | p1g2 | p2g2 |
Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:
М (XY) = x1y1*p1g1 + p2g1*x2y1+ p1g2*x1y2+ p2g2*x2y2
или
М (XY) = y1g1(x1p1 + x2p2) + y2g2(x1p1 + x2p2) = (x1p1 + x2p2) (y1g1+ y2g2) = M(X)M(Y)
Итак, M(XY) = M(X)M(Y).
Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Например, для трех случайных величин имеем:
М(XYZ) = М(XY • Z) = М (XY) М (Z) = М(X) М(Y) М (Z).
Для произвольного числа случайных величин доказательство проводится методом математической индукции.
Пример 3. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения. (Для упрощения выкладок мы ограничились малым числом возможных значений. В общем случае доказательство аналогичное):
| X | Y | ||||||
| p | 0, 6 | 0, 1 | 0, 3 | p | 0, 8 | 0, 2 |
Найти математическое ожидание случайной величины XY.
Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:
M(Х) = 5*0, 6 + 2*0, 1 +4*0, 3 = 4, 4;
M(Y) = 7*0, 8 +9*0, 9 = 7, 4.
Случайные величины X и Y независимые, поэтому искомое математическое ожидание
М(XY) = М(X)* М(Y) = 4, 4 * 7, 4 = 32, 56.
Замечание 4. Определим сумму случайных величин X и Y как случайную величину X+Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения X с каждым возможным значением Y; вероятности возможных значений X + Y для независимых величин X и Y равны произведениям вероятностей слагаемых; для зависимых величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.
Следующее ниже свойство справедливо как для независимых, так и для зависимых случайных величин.
Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
M(X + Y) = M(X) + M(Y).
Доказательство. Пусть случайные величины X и У заданы следующими законами распределения. Чтобы упростить вывод, мы ограничились лишь двумя возможными значениями каждой из величин. В общем случае доказательство аналогичное.
| X | x1 | x2 | Y | y1 | y2 | |
| p | p1 | p2 | g | g1 | g2 |
Составим все возможные значения величины Х + У. Для этого к каждому возможному значению X прибавим каждое возможное значение К; получим х1+у1, х1+у2, х2+у1 и х2+у2. Предположим для простоты, что эти возможные значения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через р11, p12, p21 и р22.
Математическое ожидание величины X+Yравно сумме произведений возможных значений на их вероятности:
M(X + Y) = (x1 + yl) р11+ (x1+y2) р12, + (x2 + y1) р21 + (x2 + y2)р22,
или
M(X + Y) = x1 (р11+ р12) + x2 (р21+ р22) + y1(р11+ р12) + y2(р21+ р22) (**)
Докажем, что р11+ р12 = p. Событие, состоящее в том, что X примет значение х, (вероятность этого события равна р1), влечет за собой событие, которое состоит в том, что X+Y примет значение х1+у1 или х2+у2 (вероятность этого события по теореме сложения равна р11+ р12) и обратно. Отсюда и следует, что р11+ р12 = p. Аналогично доказываются равенства
р21 + р22 = p2, р11 + р21 = g1 , р12 + р22 = g2.
Подставляя правые части этих равенств в соотношение (**), получим
М (X + Y) = x1р1 + x2р2 + y1g1 + y2g2.
или окончательно
М (X + Y) = М (X) + М (Y).
Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Например, для трех слагаемых величин имеем
M(X + Y + Z)= M[(X + Y) + Z]= М (X + Y) + M (Z) = M(X) + M(Y) + M(Z).
Для произвольного числа слагаемых величин доказательство проводится методом математической индукции.
Пример 4. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными p1=0, 4; p2=0, 3 и р3=0, 6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.
Решение. Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина X1 которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью р1=0, 4 и 0 (промах) с вероятностью q = 1 – 0, 4 = 0, 6.
Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания (см. пример 2), т. е. М(X1)=0, 4. Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах: М(X2) = 0, 3; М(X3) = 0, 6.
Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:
X = Х1 + X2 + X3.
Искомое математическое ожидание находим по теореме о математическом ожидании суммы:
М(X) = М(Х1 + X2 + Х3) = М(Х1) + М(X2) + М(X3) = 0, 4 + 0, 3 + 0, 6 = 1, 3 (попаданий).
Пример 5. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.
Решение. Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через X и на второй – через Y. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6, причем вероятность каждого из этих значений равна 1/6.
Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости: М(Х)=1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 6*(1/6) = 7/2.
Очевидно, что и М(Y) = 7/2.
Искомое математическое ожидание
М(X + Y) = М(X) + М(Y) = 7/2 + 7/2 = 7.
5. Математическое ожидание числа появлений события
в независимых испытаниях
Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Чему равно среднее число появлений события А в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Математическое ожидание М(X) числа появлений события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:
М (X) = пр.
Доказательство. Будем рассматривать в качестве случайной величины X число наступления события А в п независимых испытаниях. Очевидно, общее число X появлений события А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому если Х1 – число появлений события в первом испытании, X2 – во втором,..., Хn – в n-м, то общее число появлений события X = X1 + X2 +... + Хn.
По третьему свойству математического ожидания,
М(Х) = М(Х1) + М(Х2)+...+М(Хп) (***)
Каждое из слагаемых правой части равенства есть математическое ожидание числа появлений события в одном испытании: М(Х1) – в первом, М(Х2) – во второми т. д. Так как математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности события (см. пример 2), тоМ(Х1) = М(Х2) = М(Хn) = р. Подставляя в правую часть равенства (***) вместо каждого слагаемого р, получим
М(Х) = пр
Замечание. Так как величина X распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: математическое ожидание биномиального распределения с параметрами пир равно произведению пр.
Пример 6. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р=0, 6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание
М (X) = пр = 10 * 0, 6 = 6 (попаданий).
Задачи
1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, зная закон ее распределения:
| X | |||
| p | 0, 2 | 0, 3 | 0, 5 |
Отв. 2, 6.
2. Производится 4 выстрела с вероятностью попадания в цель p1=0, 6, р2=0, 4, р3=0, 5 и р4=0, 7. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.
Отв. 2, 2 попадания.
3. Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения:
| X | Y | 0, 5 | ||||
| p | 0, 2 | 0, 8 | p | 0, 3 | 0, 7 |
Найти математическое ожидание произведения XY двумя способами: а) составив закон распределения XV; б) пользуясь свойством 3.
Отв. 1, 53.
4. Дискретные случайные величины X и У заданы законами распределения, указанными в задаче 3. Найти математическое ожидание суммы Х+У двумя способами:
а) составив закон распределения X+Y;
б) пользуясь свойством 4.
Отв. 2, 65.
5. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0, 2. Найти математическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 10 деталей.
Отв. 2 детали.
6. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.
Отв. 12, 25 очка.
7. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0, 3.
Отв. 6 билетов.