Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Свойства плотности вероятностей ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
f1). Плотность вероятностей является функцией неотрицательной: для любого . ▲ Поскольку функция распределения является функцией неубывающей, то ее производная . Поэтому свойство следует из равенства (2.5) ■. f2). Площадь под графиком плотности вероятностей равна единице: - условие нормировки. ▲ Из представления (2.3) следует, что , а в соответствии со свойством F2) функции распределения ■. f3). Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал определяется как интеграл от плотности вероятностей по этому интервалу: для любых . (2.6) ▲ Поскольку в соответствии со свойством F6) функции распределения , то данное свойство непосредственно вытекает из представления (2.3): ■. Следствие. Для непрерывной случайной величины и все вероятности определяются с помощью интеграла (2.6). Графическая иллюстрация функции распределения и плотности вероятностей непрерывной случайной величины.
2.5. Важнейшие непрерывные случайные величины 1. Равномерная случайная величина. Говорят, что непрерывная случайная величина имеет равномерный закон распределения (равномерное распределение) на отрезке , если множество ее возможных значений , а плотность вероятностей постоянна на этом отрезке: Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки: , то есть . Таким образом, равномерно распределенная случайная величина имеет плотность вероятностей: и для нее используется сокращенное обозначение: . Найдем функцию распределения случайной величины . Для этого рассмотрим три случая: а) если , то ; б) если , то ; в) если , то . Окончательно имеем: Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины имеют вид:
2. Показательная (экспоненциальная) случайная величина. Говорят, что непрерывная случайная величина имеет показательный закон распределения (показательное, экспоненциальное распределение), если множество ее возможных значений , а плотность вероятностей имеет вид: Число называется параметром показательного закона распределения, а для показательной случайной величины используется сокращенное обозначение: . Проверим условие нормировки: при любом . Найдем функцию распределения случайной величины . Для этого рассмотрим два случая: а) если , то ; в) если , то . Окончательно имеем: Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины имеют вид:
3. Нормальная (гауссовская) случайная величина. Говорят, что непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения (нормальное, гауссовское распределение) с параметрами , если множество ее возможных значений , а плотность вероятностей имеет вид: . Сокращенное обозначение нормальной случайной величины: . Кривая плотности вероятностей имеет симметричный вид относительно прямой и имеет максимум в точке . Проверим условие нормировки: для любых значений параметров а и (при этом использовался известный в анализе факт, что - интеграл Пуассона). В зависимости от изменения параметров плотность вероятностей нормального закона распределения меняется следующим образом. Если параметр фиксирован, то при изменении а кривая , не изменяя своей формы, просто смещается вдоль оси абсцисс. Таким образом, параметр а является параметром сдвига (положения). Также параметр а характеризует среднее значение случайной величины. Изменение при фиксированном а равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям: при увеличении плотность вероятностей становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшении - вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (эффект действия условия нормировки). Таким образом, параметр является параметром масштаба. Также параметр характеризует степень разброса значений случайной величины около среднего значения а в следующем смысле. Чем меньше , тем больше при фиксированном вероятность вида , как площадь под плотностью вероятностей или, другими словами, тем при меньшем можно получить заданную вероятность вида . Это означает, что при уменьшении значения случайной величины более плотно группируются около а, то есть степень разброса значений случайной величины около среднего значения а меньше. Если и , то нормальный закон распределения называется стандартным, его плотность вероятностей имеет вид: и называется функцией Гаусса. Функция распределения случайной величины имеет вид: и не выражается в элементарных функциях. Функцию называют функцией Лапласа (или интегралом вероятностей).
Геометрическая иллюстрация. Свойства функции Лапласа : 1. ; 2. для . Значения функции Лапласа для табулированы. Функция распределения случайной величины также выражается через функцию Лапласа : . Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал определяется по формуле: . Наиболее просто выражается через функцию Лапласа вероятность попадания случайной величины в интервал длины , симметричный относительно точки : . Далее, если положить и учесть, что , то получаем: . Полученный результат носит название «Правило трех сигма». Он означает, что «практически все» значения случайной величины находятся внутри интервала в том смысле, что вероятность случайной величине принять значение, не принадлежащее этому интервалу, пренебрежимо мала (). Геометрическая иллюстрация «Правила трех сигма». Нормальный закон распределения очень распространен и имеет чрезвычайно большое значение для практики. В этом мы убедимся, когда познакомимся с центральной предельной теоремой. 5. Случайная величина, имеющая закон распределения Коши. Говорят, что непрерывная случайная величина имеет закон распределения Коши, если множество ее возможных значений , а плотность вероятностей имеет вид: . Функция распределения случайной величины, распределенной по закону Коши, имеет вид: . Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины, распределенной по закону Коши, выглядят следующим образом:
|